Question

17．如圖所示，間距為L(zhǎng)=1m的兩平行金屬導(dǎo)軌與水平面成θ=37°角固定放置，虛線MN上方存在垂直軌道平面向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN下方存在平行軌道向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B=1T，MN上下兩部分軌道均足夠長(zhǎng)，其電阻均不計(jì)．光滑金屬棒ab的質(zhì)量為m=1kg，電阻為r=lΩ；金屬棒cd的質(zhì)量也為m=1kg，電阻為R=2Ω，它與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.6．現(xiàn)由靜止釋放cd棒，同時(shí)對(duì)ab棒施加一平行軌道向上的外力F，使ab棒沿軌道向上做初速度為零、加速度為a=3m/s²的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，兩棒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與軌道垂直且與軌道接觸良好．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s²）
（1）寫(xiě)出所加外力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系式．
（2）求cd棒達(dá)到最大速度所用時(shí)間t₀．
（3）若從釋放cd到cd達(dá)到最大速度時(shí)外力F所做的功為W_F=62J，求此過(guò)程中回路中所產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）ab棒沿軌道向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由v=at、E=BLv、I=$\frac{E}{R+r}$、F_安=BIL推導(dǎo)出安培力與時(shí)間的關(guān)系式，對(duì)ab棒，即可由牛頓第二定律得到外力F與時(shí)間t的關(guān)系式；
（2）cd棒向下先加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)速度達(dá)到最大，根據(jù)平衡條件求解時(shí)間t₀；
（3）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出cd棒達(dá)到最大速度時(shí)通過(guò)的位移和所用時(shí)間，再由動(dòng)能定理求解ab棒克服安培力做功，即等于此過(guò)程中回路中所產(chǎn)生的焦耳熱Q．

解答 解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t后ab棒的速度為v，則v=at①
此時(shí)回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E=BLv，②
感應(yīng)電流為 I=$\frac{E}{R+r}$  ③
設(shè)安培力大小為F_安，則F_安=BIL，④
對(duì)ab棒，由牛頓第二定律得：F-mgsinθ-F_安=ma  ⑤
聯(lián)立以上幾式得，F(xiàn)=（t+9）N  ⑥
（2）設(shè)cd棒達(dá)到最大速度時(shí)所用時(shí)間為t₀，此時(shí)ab棒的速度為v0，安培力大小為F_安′，則由①～④得
   F_安′=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{0}}{R+r}$  ⑦
對(duì)cd棒，由平衡條件得  mgsinθ=μ（mgcosθ+F_安′）  ⑧
由⑦⑧得，t₀=2s
（3）設(shè)當(dāng)cd棒達(dá)到最大速度時(shí)，ab棒沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)的距離為x，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得
   x=$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$  ⑩
   v₀=at₀      （11）
對(duì)ab棒，由動(dòng)能定理得
   W_F-mgxsinθ-W_安=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$  （12）
則得克服安培力做的功為 W_安=Q  （13）
由⑨～（13）解得，Q=8J
答：（1）所加外力F與時(shí)間t的關(guān)系式是F=（t+9）N．
（2）cd棒達(dá)到最大速度所用時(shí)間t₀是2s．
（3）若從釋放cd到cd達(dá)到最大速度時(shí)外力F所做的功為W_F=62J，此過(guò)程中回路中所產(chǎn)生的焦耳熱Q是8J．

點(diǎn)評(píng) 本題中電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的綜合，安培力是橋梁，推導(dǎo)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律推導(dǎo)安培力表達(dá)式是關(guān)鍵．