Question

18．宇航員站在星球表面上某高處，沿水平方向拋出一小球，經(jīng)過時間t小球落回星球表面，測得拋出點和落地點之間的距離為L．若拋出時的速度增大為原來的2倍，則拋出點到落地點之間的距離為$\sqrt{3}$L．已知兩落地點在同一水平面上，該星球半徑為R，若要在該星球上發(fā)射一顆環(huán)繞星球運行的衛(wèi)星，衛(wèi)星需要的最小速度為多少？

Answer 1

分析 根據(jù)平拋運動水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，結(jié)合關(guān)系求出星球表面的重力加速度，結(jié)合萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出衛(wèi)星的最小速度．

解答 解：設(shè)小球拋出時的初速度為v₀，如圖，根據(jù)幾何關(guān)系有：${L^2}={h^2}+{（{v_0}t）^2}$
小球拋出時的初速度為2v₀時，${（\sqrt{3}L）^2}={h^2}+{（2{v_0}t）^2}$
小球平拋，豎直方向$h=\frac{1}{2}g{t^2}$
要在該星球上發(fā)射一顆環(huán)繞星球運行的衛(wèi)星，最小的發(fā)射速度為衛(wèi)星環(huán)繞地球表面做勻速圓周運動的運行速度，則$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$
在星球表面 $G\frac{Mm}{R^2}=mg$
聯(lián)立以上各式解得  $v=\sqrt{\frac{{2\sqrt{3}L}}{{3{t^2}}}R}$．
答：衛(wèi)星需要的最小速度為$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}L}{3{t}^{2}}R}$．

點評 本題考查了平拋運動和萬有引力定律的綜合運用，知道最小的發(fā)射速度為環(huán)繞地球表面做勻速圓周運動的速度，通過平拋運動的規(guī)律求出星球表面的重力加速度是解決本題的關(guān)鍵．