Question

一小球自A點(diǎn)豎直向上拋出，在大風(fēng)的情況下，若風(fēng)力的大小恒定、方向水平向右，小球運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示（小球的運(yùn)動(dòng)可看作豎直方向的豎直上拋運(yùn)動(dòng)和水平方向的初速為零的勻加速度直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)）．在小球運(yùn)動(dòng)的軌跡上A、B兩點(diǎn)處在同一水平線上，M點(diǎn)為軌跡的最高點(diǎn)．小球拋出的初動(dòng)能為5J，小球在最高點(diǎn)M處的動(dòng)能為2J，其它的阻力不計(jì)．求：
（1）小球水平位移S₁與S₂之比；
（2）小球的重力G與所受風(fēng)力F的比值；
（3）小球落回到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能E_KB；
（4）小球從A點(diǎn)到B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，小球動(dòng)能的最小值．

Answer 1

分析：（1）小球在豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性可知從A點(diǎn)至M點(diǎn)和從M點(diǎn)至B點(diǎn)的時(shí)間t相等．小球在水平方向上做初速為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式位移公式，運(yùn)用比例法求出S₁與S₂之比；
（2）小球從A運(yùn)動(dòng)到M過程中，由A處和M處的動(dòng)能，得到兩處速度與動(dòng)能的關(guān)系式．根據(jù)豎直和水平兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)，由速度公式和牛頓第二定律求解重力G與所受風(fēng)力F的比值；
（3）分別研究A到M和A到B水平方向的分運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式速度位移關(guān)系式求出小球到達(dá)B點(diǎn)的速度，即可得到動(dòng)能E_KB；
（4）根據(jù)速度的合成得到動(dòng)能與時(shí)間的關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求極值，得到小球動(dòng)能的最小值．

解答：解：（1）小球在豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性得知，從A點(diǎn)至M點(diǎn)和從M點(diǎn)至B點(diǎn)的時(shí)間t相等．
小球在水平方向上做初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a，則
   S₁=

1

2

at2
   S₂=

1

2

a(2t)2-

1

2

at2=

3

2

at2
 所以

S1

S2

=

1

3

                                 
（2）由題，

1

2

m

v

2 A

=5J，得v_A=

10 m

又豎直方向上，有v_A=gt=

G

m

t，所以

10 m

=

G

m

t，①

1

2

m

v

2 M

=2J，得v_M=

4 m

在水平方向上，有 v_M=at=

F

m

t，則得

4 m

=

F

m

t，②
所以①：②得

G

F

=

5 2

                             
（3）小球在水平方向上

v

2 M

=2aS₁，

v

2 Bx

=2a（S₁+S₂）=8aS₁，
故

v

2 Bx

=4

v

2 M

小球落回到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能E_KB=

1

2

m

v

2 B

=

1

2

m(

v

2 Bx

+

v

2 By

)=

1

2

m?4

v

2 M

+

1

2

m

v

2 A

=13J
（4）設(shè)小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)動(dòng)能為E_k，則
   E_k=

1

2

m(v0-gt)2+

1

2

m(at)2
化簡(jiǎn)為 （g²+a²）t²-2v₀gt+

v

2 0

-

2Ek

m

=0
 當(dāng)△=0時(shí)有極值，
則4

v

2 0

g2-4（g²+a²）(

v

2 0

-

2Ek

m

)=0
得E_k=

a2

g2+a2

E_k0
由

G

F

=

5 2

得a=

10

5

g
即E_kmin=

2

7

Ek0=

2

7

×5J=1.43J    
答：
（1）小球水平位移S₁與S₂之比1：3；
（2）小球的重力G與所受風(fēng)力F的比值是

5

：

2

；
（3）小球落回到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能E_KB是13J；
（4）小球從A點(diǎn)到B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，小球動(dòng)能的最小值是1.43J．

點(diǎn)評(píng)：本題運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解法處理，抓住豎直方向上運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性得到時(shí)間關(guān)系是關(guān)鍵．對(duì)于第4題，也可以求出重力加速度與風(fēng)力加速度形成合加速度，當(dāng)速度方向與合加速度方向垂直時(shí)速度最小，動(dòng)能最小，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律結(jié)合求解．