Question

3．船在200m寬的河中橫渡，水流速度為3m/s，船在靜水中的航行速度是4m/s，求，
（1）要使船以最短時(shí)間過(guò)河，船頭方向應(yīng)如何？最短時(shí)間為多少？
（2）要使船以最短距離過(guò)河，應(yīng)如何行駛，過(guò)河時(shí)間多長(zhǎng)？
（3）若河水流速一定，使船沿與下游成30°夾角的直線從A航行到B，船頭航向應(yīng)如何才能使船的航行速度最��？最小航速多大？
（4）若水流速度是4m/s，船在靜水中的航行速度是3m/s，求船渡河的最小位移．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)船頭的方向與河岸垂直時(shí)，渡河時(shí)間最短，根據(jù)等時(shí)性求出渡河的時(shí)間，
（2）當(dāng)合速度的方向與河岸垂直時(shí)，渡河路程最短，根據(jù)平行四邊形定則求出靜水速的方向．通過(guò)平行四邊形定則求出合速度的大小，從而得出渡河的時(shí)間．
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成，結(jié)合水流速度，與三角知識(shí)，即可求解；
（4）當(dāng)合速度的方向與靜水速的方向垂直時(shí)，渡河位移最短，從而即可求解．

解答 解：（1）船頭的方向與河岸垂直時(shí)，渡河時(shí)間最短，即t=$\fracjdtvdlv{{v}_{c}}$=$\frac{200}{4}$s=50s．
（2）當(dāng)合速度方向與河岸垂直時(shí)，渡河路程最短．如圖，cosθ=$\frac{{v}_{s}}{{v}_{c}}$=$\frac{3}{4}$
即船頭的方向與河岸所成夾角余弦為$\frac{3}{4}$，偏向上游行駛．
v_合=$\sqrt{{v}_{c}^{2}-{v}_{s}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$m/s=$\sqrt{7}$m/s
則t′=$\fracvbl19d9{{v}_{合}}$=$\frac{200}{\sqrt{7}}$s=$\frac{200\sqrt{7}}{7}$s．
（3）若河水流速一定，使船沿與下游成30°夾角的直線從A航行到B，
當(dāng)船頭航向與合速度垂直時(shí)，航行速度最��；

最小速度v_c′=v_ssin30°=4×$\frac{1}{2}$=2m/s；
（4）因?yàn)椴荒艽怪倍珊�，所以�?dāng)合速度的方向與靜水速的方向垂直，渡河位移最短，
設(shè)此時(shí)合速度的方向與河岸的夾角為θ，sinθ=$\frac{{v}_{c}}{{v}_{s}}$=$\frac{3}{4}$，
則渡河的最小位移x=$\frac3bdt97p{sinθ}$=$\frac{200}{\frac{3}{4}}$m=$\frac{800}{3}$ m．
答：（1）要使船以最短時(shí)間過(guò)河，船頭方向應(yīng)垂直河岸，最短時(shí)間為50s；
（2）要使船以最短距離過(guò)河，應(yīng)偏上游夾角為與河岸所成夾角余弦為$\frac{3}{4}$，過(guò)河時(shí)間$\frac{200\sqrt{7}}{7}$s；
（3）若河水流速一定，使船沿與下游成30°夾角的直線從A航行到B，船頭航向如圖所示，才能使船的航行速度最小，最小航速2m/s；
（4）若水流速度是4m/s，船在靜水中的航行速度是3m/s，船渡河的最小位移$\frac{800}{3}$ m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，當(dāng)靜水速與河岸垂直，渡河時(shí)間最短；當(dāng)合速度與河岸垂直，渡河航程最短．