Question

如圖所示，在圓柱形房屋天花板中心O點(diǎn)懸掛一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩，繩的下端掛一個(gè)質(zhì)量為m的小球，已知繩能承受的最大拉力為2mg，小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度逐漸增大到繩斷裂后，小球恰好以速度v₂=

7gL

落到墻腳邊．求：
（1）繩斷裂瞬間的速度v₁；
（2）圓柱形房屋的高度H．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)繩子的最大拉力，結(jié)合平行四邊形定則求出繩子與豎直方向的夾角，根據(jù)合力提供向心力求出繩斷裂瞬間的速度．
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出繩斷裂時(shí)小球距離地面的高度，從而求出房屋的高度．

解答：解：繩斷裂前小球作圓錐擺運(yùn)動(dòng)，繩斷裂后小球沿切線方向作平拋運(yùn)動(dòng)，直到落地，小球作平拋運(yùn)動(dòng)的過程滿足機(jī)械能守恒定律．
（l）小球在繩斷前瞬時(shí)受力如圖所示
由于T_m=2mg，cosθ=

mg

Tm

=

1

2

，θ=60⁰
F_合=mgtan60°=m

v12

r

，r=Lsinθ解得v₁=

3gL 2

．
（2）小球從拋出到落地，根據(jù)機(jī)械能守恒定律

1

2

mv₁²+mgh₁=

1

2

mv₂²
式中h₁為繩斷裂時(shí)小球距地面的高度，由上式解得h₁=

v22-v12

2g

=

11

4

L
設(shè)繩斷裂時(shí)小球距天花板的高度為h₂，則h₂=Lcos60°=L
故房屋高度H=h₁+h₂=

13L

4

答：（1）繩斷裂瞬間的速度v₁=

3gL 2

．
（2）圓柱形房屋的高度H為

13L

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律，知道物體做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解．