Question

如圖所示，在圓柱形房屋天花板中心O點(diǎn)懸掛一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩，繩的下端掛一個(gè)質(zhì)量為m的小球，已知繩能承受的最大拉力為2mg，小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度逐漸增大到繩斷裂后，小球恰好以速度v₂=

7gL

落到墻腳邊．
求（1）繩斷裂瞬間小球的速度v₁；
（2）圓柱形房屋的高度H和半徑．

Answer 1

分析：（1）小球在水平面仙做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解速度v₁；
（2）小球在繩子斷開(kāi)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理求得小球下落的高度h，H=h+Lcosθ．由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解半徑．

解答：解：（1）分析小球的受力情況，
   Tcosθ=mg
   Tsinθ=m

v 2 1

Lsinθ

解得θ=60°，v₁=

3 2 gL

（2）由動(dòng)能定理有，
 mgh=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

解得h=

9

4

L
所以H=h+Lcosθ=

11

4

L
由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，有
  h=

1

2

gt2
由幾何知識(shí)得R=

(Lsinθ)2+(v1t)2

=3L
答：
（1）繩斷裂瞬間小球的速度v₁為

3 2 gL

．
（2）圓柱形房屋的高度H和半徑分別為

11

4

L和3L．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式及向心力公式的應(yīng)用，要求同學(xué)們能畫(huà)出小球運(yùn)動(dòng)的軌跡，能結(jié)合幾何關(guān)系解題，難度適中．