Question

6．半徑分別為r和2r的同心圓形導(dǎo)軌固定在同一水平面內(nèi)，一長(zhǎng)為r、質(zhì)量為m且質(zhì)量分布均勻的直導(dǎo)體棒AB置于圓導(dǎo)軌上面，BA的延長(zhǎng)線通過(guò)圓導(dǎo)軌中心O，裝置的俯視圖如圖所示．整個(gè)裝置位于一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向豎直向下，在內(nèi)圓導(dǎo)軌的C點(diǎn)和外圓導(dǎo)軌的D點(diǎn)之間接有一阻值為R的電阻（圖中未畫出）．直導(dǎo)體棒在水平外力作用下以速度ω繞O逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中始終與導(dǎo)軌保持良好接觸，設(shè)導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌的電阻均可忽略，重力加速度大小為g．求：
（1）通過(guò)電阻R的感應(yīng)電流的方向和大小；
（2）外力的功率．

Answer 1

分析 （1）由E=$\frac{1}{2}$BL²ω求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求出電流，由右手定則判斷出感應(yīng)電流方向；
（2）外加機(jī)械功率等于電阻器上電功率與克服摩擦力做功的功率之和，根據(jù)能量轉(zhuǎn)化守恒定律求解桿ab克服摩擦力做功的功率．

解答 解：（1）AB中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為：
E=$\frac{1}{2}$B（2r）²ω-$\frac{1}{2}$Br²ω=1.5Br²ω，
感應(yīng)電流大小：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{3B{r}^{2}ω}{2R}$；
由右手定則判斷可知，感應(yīng)電流的方向是從B端流向A端，所以通過(guò)電阻R的電流方向?yàn)椋篊→D．
（2）設(shè)導(dǎo)體棒克服摩擦力做功的功率為P，在豎直方向有：mg-N=0，
由于質(zhì)量分布均與，內(nèi)、外圓導(dǎo)軌對(duì)導(dǎo)體棒的正壓力相等，故兩導(dǎo)軌對(duì)導(dǎo)體棒的摩擦力均為：f=$\frac{1}{2}$μmg，
所以有：P=f$\overline{v}$=μmg×$\frac{1}{2}$（2r+r）ω=$\frac{3}{2}$μmgωr，
電功率：P_電=I²R=$\frac{9{B}^{2}{r}^{4}{ω}^{2}}{4R}$，
由能量守恒定律得：P_外=P+P_電，
解得：P_外=$\frac{3}{2}$μmgωr+$\frac{9{B}^{2}{r}^{4}{ω}^{2}}{4R}$．
答：（1）通過(guò)電阻R的感應(yīng)電流的方向：C→D，大小為$\frac{3B{r}^{2}ω}{2R}$；
（2）外力的功率為$\frac{3}{2}$μmgωr+$\frac{9{B}^{2}{r}^{4}{ω}^{2}}{4R}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要掌握轉(zhuǎn)動(dòng)切割感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式E=$\frac{1}{2}$BL²ω，知道能量是如何轉(zhuǎn)化的．