Question

如圖所示，在距水平地面高h₁＝1.2m的光滑水平臺面上，一個質量m＝1kg的小物塊壓縮彈簧后被鎖扣K鎖住，儲存了一定量的彈性勢能E_p�，F(xiàn)打開鎖扣K，物塊與彈簧分離后將以一定的水平速度v₁向右滑離平臺，并恰好從B點沿切線方向進入光滑豎直的圓弧軌道BC。已知B點距水平地面的高h₂＝0.6m，圓弧軌道BC的圓心O與水平臺面等高，C點的切線水平，并與水平地面上長為L＝2.8m的粗糙直軌道CD平滑連接，小物塊沿軌道BCD運動并與右邊的豎直墻壁會發(fā)生碰撞，重力加速度g＝10m/s²，空氣阻力忽略不計。試求：

（1）小物塊由A到B的運動時間.

（2）壓縮的彈簧在被鎖扣K鎖住時所儲存的彈性勢能E_p.

（3）若小物塊與墻壁碰撞后速度反向、大小變?yōu)榕銮暗囊话�，且只會發(fā)生一次碰撞，那么小物塊與軌道CD之間的動摩擦因數(shù)μ應該滿足怎樣的條件.

Answer 1

⑴小物塊由A運動到B的過程中做平拋運動，在豎直方向上根據(jù)自由落體運動規(guī)律可知，

小物塊由A運動到B的時間為：t＝＝s≈0.346s                （2分）

⑵根據(jù)圖中幾何關系可知，h₂＝h₁（1－cos∠BOC），解得：∠BOC＝60°        （1分）

根據(jù)平拋運動規(guī)律有：tan60°＝，  解得：v₁＝2m/s                （2分）

根據(jù)能的轉化與守恒可知，原來壓縮的彈簧儲存的彈性勢能為：E_p＝mv₁²＝2J  （1分）

⑶依據(jù)題意知，①μ的最大值對應的是物塊撞墻前瞬間的速度趨于零，根據(jù)能量關系有：

mgh₁＋E_p＞μmgL   代入數(shù)據(jù)解得：μ＜                           （2分）

②對于μ的最小值求解，首先應判斷物塊第一次碰墻后反彈，能否沿圓軌道滑離B點，設物塊碰前在D處的速度為v₂，由能量關系有：mgh₁＋E_p＝μmgL＋mv₂²

第一次碰墻后返回至C處的動能為：E_kC＝mv₂²－μmgL  可知即使μ＝0，有：

mv₂²＝14J    mv₂²＝3.5J＜mgh₂＝6J，小物塊不可能返滑至B點      （2分）

故μ的最小值對應著物塊撞后回到圓軌道最高某處，又下滑經C恰好至D點停止，因此有：mv₂²≤2μmgL，  聯(lián)立解得：μ≥                              （1分）

綜上可知滿足題目條件的動摩擦因數(shù)μ值：≤μ＜  （1分）