Question

12．我國(guó)現(xiàn)有四個(gè)衛(wèi)星發(fā)射中心，發(fā)射成功率已達(dá)世界一流水平，僅2014年就成功進(jìn)行了16次宇航發(fā)射任務(wù)，現(xiàn)計(jì)劃發(fā)射一顆距離地面高度為（$\sqrt{2}$-1）R₀的圓形軌道地球衛(wèi)星，衛(wèi)星軌道平面與赤道面重合，已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R₀，地球自轉(zhuǎn)角速度為ω₀，求：假如某時(shí)刻衛(wèi)星正好位于赤道上一高山頂?shù)恼�上方，則衛(wèi)星再次出現(xiàn)在該山頂?shù)恼�上方至少要�?jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間？

Answer 1

分析 根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力，萬(wàn)有引力等于向心力，列式求出衛(wèi)星運(yùn)行的周期．衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，山隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)衛(wèi)星轉(zhuǎn)過(guò)的角度與山轉(zhuǎn)過(guò)的角度之差等于2π時(shí)，衛(wèi)星再次出現(xiàn)在山頂?shù)恼�上方�?/p>

解答 解：在地球表面上，物體受到的萬(wàn)有引力與物體的重力近似相等，即有：G$\frac{Mm}{{R}_{0}^{2}}$=mg  ①
根據(jù)衛(wèi)星所需的向心力由地球的萬(wàn)有引力提供，得 G$\frac{Mm}{（\sqrt{2}{R}_{0}）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$•$\sqrt{2}$R₀  ②
由①②解得：T=2π$\sqrt{\frac{\sqrt{2}{R}_{0}}{g}}$
設(shè)至少經(jīng)t時(shí)間衛(wèi)星再次經(jīng)過(guò)高山頂?shù)恼�上方，則 $\frac{2π}{T}$t-ω₀t=2π
解得 t=$\frac{1}{\sqrt{\frac{g}{\sqrt{2}{R}_{0}}}-ω{\;}_{0}}$
答：衛(wèi)星再次出現(xiàn)在該山頂?shù)恼�上方至少要�?jīng)歷$\frac{1}{\sqrt{\frac{g}{\sqrt{2}{R}_{0}}}-ω{\;}_{0}}$時(shí)間．

點(diǎn)評(píng) 衛(wèi)星所受的萬(wàn)有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是衛(wèi)星類問(wèn)題必須要考慮的思路，本題根據(jù)這兩個(gè)關(guān)系即可列式．