Question

2．如圖，MN、PQ兩條平行的光滑金屬軌道與水平面成θ角固定，軌距為d．空間存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于軌道平面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．P、M間接有阻值為3R的電阻．Q、N間接有阻值為6R的電阻，質(zhì)量為m的金屬桿ab水平放置在軌道上，其有效電阻為R．現(xiàn)從靜止釋放ab，當(dāng)它沿軌道下滑距離s時，達(dá)到最大速度．若軌道足夠長且電阻不計，重力加速度為g．求：
（1）金屬桿ab運(yùn)動的最大速度；
（2）金屬桿ab運(yùn)動的加速度為$\frac{1}{2}$gsinθ時，金屬桿ab消耗的電功率；
（3）金屬桿ab從靜止到具有最大速度的過程中，通過6R的電量；
（4）金屬桿ab從靜止到具有最大速度的過程中，克服安培力所做的功．

Answer 1

分析 （1）從靜止釋放ab，ab棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，相當(dāng)于電源，兩個定值電阻3R與6R并聯(lián)，可求得總電阻．當(dāng)ab棒勻速運(yùn)動時，速度達(dá)到最大，根據(jù)平衡條件和安培力公式，求解金屬桿ab運(yùn)動的最大速度；
（2）金屬桿ab運(yùn)動的加速度為$\frac{1}{2}$gsinθ時，根據(jù)牛頓第二定律求得此時金屬桿ab運(yùn)動的速度，得到感應(yīng)電流，即可求得金屬桿ab消耗的電功率；
（3）根據(jù)法拉第定律、歐姆定律推導(dǎo)出電量表達(dá)式 q=$\frac{△Φ}{{R}_{總}}$，求出通過ab的電量，再得到通過6R的電量．
（4）金屬桿ab從靜止到具有最大速度的過程中，重力做正功，安培力做負(fù)功，根據(jù)動能定理求得導(dǎo)體棒ab克服安培力做功．

解答 解：（1）設(shè)金屬桿ab運(yùn)動的最大速度為v．
電路的總電阻為 R_總=R_并+R=$\frac{3R•6R}{3R+6R}$+R=3R；
電路中電流為 I=$\frac{Bdv}{{R}_{總}}$=$\frac{Bdv}{3R}$
當(dāng)金屬棒ab達(dá)到最大速度時受力平衡．則有
  mgsinθ=BId=$\frac{{B}^{2}7ha5gmv^{2}v}{3R}$     
解得最大速度為 v=$\frac{3mgRsinθ}{{B}^{2}qifitup^{2}}$  
（2）金屬桿ab運(yùn)動的加速度為$\frac{1}{2}$gsinθ 時，電路中電流設(shè)為I′．
根據(jù)牛頓第二定律F_合=ma，得：
  mgsinθ-BI′d=ma
解得 I′=$\frac{mgsinθ}{2Bd}$
金屬桿ab消耗的電功率 P=I′²R=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rsi{n}^{2}θ}{4{B}^{2}vtxk8b3^{2}}$
（3）通過干路的總電量為 Q=$\frac{△Φ}{{R}_{總}}$=$\frac{Bds}{3R}$
由于3R與6R兩個電阻并聯(lián)，所以，通過6R的電量為 Q₁=$\frac{3R}{3R+6R}$Q=$\frac{Bds}{9R}$     
（4）金屬桿ab從靜止到具有最大速度的過程中，根據(jù)動能定理
  W_G-W_克安=△E_k
即有 mgssinθ-W_克安=$\frac{1}{2}$mv²；                   
解得克服安培力所做的功 W_克安=mgssinθ-$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}u7w31u7^{4}}$    
答：
（1）金屬桿ab運(yùn)動的最大速度是$\frac{3mgRsinθ}{{B}^{2}vjtwpao^{2}}$；
（2）金屬桿ab運(yùn)動的加速度為$\frac{1}{2}$gsinθ時，金屬桿ab消耗的電功率是$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rsi{n}^{2}θ}{4{B}^{2}drrux9g^{2}}$；
（3）金屬桿ab從靜止到具有最大速度的過程中，通過6R的電量是$\frac{Bds}{9R}$；
（4）金屬桿ab從靜止到具有最大速度的過程中，克服安培力所做的功是mgssinθ-$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}i671p7n^{4}}$．

點評 本題是電磁感應(yīng)中收尾速度問題，分別從力和能量兩個角度進(jìn)行研究．其中安培力的分析和計算是解題的關(guān)鍵步驟．