Question

18．設(shè)某行星繞太陽公轉(zhuǎn)的圓周軌道半徑為r、若已知太陽的質(zhì)量為M，求行星的公轉(zhuǎn)周期T．若太陽的密度、行星的密度不變，行星的軌道半徑r、太陽的半徑R₁、行星的半徑R₂都減小為現(xiàn)在的90%，行星仍在圓軌道上做圓周運動．通過計算說明：行星的公轉(zhuǎn)周期是變大？變�。窟�是不變？

Answer 1

分析 行星繞太陽做勻速圓周運動，受到太陽的萬有引力，萬有引力提供向心力，計算行星的公轉(zhuǎn)周期，行星和太陽的質(zhì)量等于各自密度乘以各自的體積，代入化簡，根據(jù)表達式和題中數(shù)據(jù)討論行星的公轉(zhuǎn)周期的變化．

解答 解：根據(jù)萬有引力定律，有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，解得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，與行星質(zhì)量無關(guān)，又因為：M=ρV=$ρ\frac{4}{3}$$π{R}_{1}^{3}$，
當(dāng)行星的軌道半徑r、太陽的半徑R₁、行星的半徑R₂都減小為現(xiàn)在的90%，
周期：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（0.9r）^{3}}{Gρ\frac{4}{3}π（{0.9{R}_{1}）}^{3}}}=\sqrt{\frac{3π{r}^{3}}{Gρ{R}_{1}^{3}}}$，與半徑變化無關(guān)，故行星的公轉(zhuǎn)周期不變．
答：行星的公轉(zhuǎn)周期不變．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運用，本題的關(guān)鍵得出周期的表達式，從而分析判斷．