Question

3．如圖，地面上有一固定的半圓形圓柱面，圓柱面的斜上方P處有一質(zhì)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)的豎直直線恰好與圓相切于Q點(diǎn)，已知半圓形圓柱面半徑為R=3m．PQ=2R=6m．現(xiàn)在確定一條從P到圓柱的光滑斜面軌道，使質(zhì)點(diǎn)從靜止開(kāi)始沿軌道滑行到圓柱面上所經(jīng)歷的時(shí)間最短．求該斜面軌道與豎直方向的夾角θ，并計(jì)算最短時(shí)間t．（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）

Answer 1

分析 以P點(diǎn)為圓周的頂點(diǎn)，以一定長(zhǎng)度r為半徑作一個(gè)與半圓柱相切的豎直圓周，從P點(diǎn)到切點(diǎn)建立一光滑斜面軌道，則質(zhì)點(diǎn)沿該軌道到圓柱上所用時(shí)間最短，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，牛頓第二定律求出下滑時(shí)的加速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求出時(shí)間．

解答 解：以P點(diǎn)為圓周的頂點(diǎn)，以一定長(zhǎng)度r為半徑作一個(gè)與半圓柱相切的豎直圓周，從P點(diǎn)到切點(diǎn)建立一光滑斜面軌道，則質(zhì)點(diǎn)沿該軌道到圓柱上所用時(shí)間最短，由圖根據(jù)幾何關(guān)系得：
tanθ=$\frac{R}{2R-r}$
（R+r）²=R²+（2R-r）²
由以上兩式可解得：r=$\frac{2}{3}R=2m$，tanθ=0.75，則θ=37°，
質(zhì)點(diǎn)從該軌道滑到圓周上的位移s=2rcosθ，下滑的加速度為a=gcosθ，
根據(jù)s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：
t=$\sqrt{\frac{2s}{a}}=\sqrt{\frac{4r}{g}}$
則最短時(shí)間${t}_{min}=\sqrt{\frac{4r}{g}}=\sqrt{\frac{8}{10}}=0.9s$
答：該斜面軌道與豎直方向的夾角為37°，最短時(shí)間t為0.9s．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得綜合應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力，要明確沿什么路徑下滑時(shí)時(shí)間最短，難度適中．