Question

11．如圖，電阻不計(jì)足夠長(zhǎng)的兩金屬導(dǎo)軌平行傾斜放置，與水平面的夾角θ=30°，導(dǎo)軌間距為l，處于方向垂直于導(dǎo)軌平面強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．長(zhǎng)度均為l的導(dǎo)體棒ab和cd垂直跨放在導(dǎo)軌上．a(chǎn)b棒的質(zhì)量為m、電阻為r，與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．cd棒光滑，質(zhì)量為2m、電阻為r．開(kāi)始兩棒均位于導(dǎo)軌頂端，現(xiàn)由靜止同時(shí)釋放兩棒，當(dāng)cd棒下滑的距離為x時(shí)，ab棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng)．設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g．求：
（1）ab棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，cd棒的速度v；
（2）cd棒下滑x距離的過(guò)程中，ab棒中產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）cd棒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小加速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、安培力公式列式，再根據(jù)ab棒的受力平衡即可求解cd棒的速度；
（2）根據(jù)能量守恒定律求解回路的總熱量，再根據(jù)電阻關(guān)系得出ab棒中產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律得出安培力與速度的關(guān)系式，再根據(jù)牛頓第二定律分析兩棒的加速度變化情況，ab剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，${a}_{1}^{\;}＞{a}_{2}^{\;}$，兩棒的速度差△v逐漸變大，安培力F繼續(xù)變大，cd的加速度${a}_{1}^{\;}$減小、ab的加速度${a}_{2}^{\;}$增大，直到${a}_{1}^{\;}={a}_{2}^{\;}$，故兩棒的速度差最終為定值．兩棒最終的加速度為a，此即為cd棒的最小的加速度．

解答 解：（1）ab棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)平衡條件得：
F+mgsinθ=μmgcosθ…①
而安培力F=BIl…②
根據(jù)閉合電路歐姆定律$I=\frac{E}{r+r}$…③
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律：E=BLv…④
整理得$v=\frac{mgr}{2{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}}$…⑤
（2）設(shè)此過(guò)程中產(chǎn)生的總熱量Q，根據(jù)能量守恒定律：
$Q=2mgxsinθ-\frac{1}{2}（2m）{v}_{\;}^{2}$…⑥
ab棒中產(chǎn)生的焦耳熱${Q}_{1}^{\;}=\frac{r}{r+r}Q$…⑦
整理得${Q}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}mgx-\frac{{m}_{\;}^{3}{g}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}}{8{B}_{\;}^{4}{l}_{\;}^{4}}$…⑧
（3）當(dāng)ab運(yùn)動(dòng)后，某時(shí)刻cd、ab的速度分別用${v}_{1}^{\;}$、${v}_{2}^{\;}$表示，此后經(jīng)過(guò)極短時(shí)間△t過(guò)程中，與導(dǎo)軌圍成的矩形的面積變化△S為
$△S=l（{v}_{1}^{\;}△t-{v}_{2}^{\;}△t）$…⑨
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，ab、cd與導(dǎo)軌圍成的閉合電路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)
$E=\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{B•△S}{△t}$…⑩
由②③④⑩得，此時(shí)每棒受到的安培力大小
$F=\frac{{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}（{v}_{1}^{\;}-{v}_{2}^{\;}）}{2r}$…⑪
設(shè)此時(shí)cd、ab的加速度分別為${a}_{1}^{\;}$、${a}_{2}^{\;}$
對(duì)cd：$2mgsinθ-F=2m{a}_{1}^{\;}$…⑫
對(duì)ab：$F+mgsinθ-μmgcosθ=m{a}_{2}^{\;}$…⑬
△t時(shí)間之后，兩棒的速度為：
${v}_{1}^{′}={v}_{1}^{\;}+{a}_{1}^{\;}•△t$               ${v}_{2}^{′}={v}_{2}^{\;}+{a}_{2}^{\;}•△t$…⑭
ab剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，${a}_{1}^{\;}＞{a}_{2}^{\;}$，兩棒的速度差△v逐漸變大，安培力F繼續(xù)變大，由⑫⑬知${a}_{1}^{\;}$減小、${a}_{2}^{\;}$增大，直到${a}_{1}^{\;}={a}_{2}^{\;}$，故兩棒的速度差最終為定值．
由⑫⑬得，兩棒最終的加速度為a，此即為cd棒的最小的加速度．
$a=\frac{1}{4}g$…⑮
答：（1）ab棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，cd棒的速度v為$\frac{mgr}{2{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}}$；
（2）cd棒下滑x距離的過(guò)程中，ab棒中產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{1}{2}mgx-$$\frac{{m}_{\;}^{3}{g}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}}{8{B}_{\;}^{4}{l}_{\;}^{4}}$；
（3）cd棒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小加速度為$\frac{1}{4}g$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)中的力學(xué)問(wèn)題，綜合運(yùn)用電磁學(xué)知識(shí)、力平衡知識(shí)和牛頓第二定律進(jìn)行求解．注意兩個(gè)導(dǎo)體棒切割磁感線的有效速度為一個(gè)相對(duì)另一個(gè)的相對(duì)速度．