Question

如圖所示，水平軌道AB與位于豎直面內(nèi)半徑為R的半圓形光滑軌道BCD相連，半圓形軌道的直徑BD與AB垂直，水平軌道上有一質(zhì)量m=1.0kg可看作質(zhì)點(diǎn)的小滑塊，滑塊與水平 軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．現(xiàn)使滑塊從水平軌道上某點(diǎn)靜止起出發(fā)，在水平向右的恒力F作用下運(yùn)動(dòng)，到達(dá)水平軌道的末端B點(diǎn)時(shí)撤去外力F，小滑塊繼續(xù)沿半圓形軌道運(yùn)動(dòng)；恰好能通過(guò)軌道最高點(diǎn)D，滑塊脫離半圓形軌道后又剛好落到其出發(fā)點(diǎn)，g取10m/s²．
（1）當(dāng)R=0.90m時(shí)，求其出發(fā)點(diǎn)到B點(diǎn)之間的距離x及滑塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)進(jìn)入圓形軌道時(shí)對(duì)軌道的壓力大��；
（2）小明同學(xué)認(rèn)為：若半圓形光滑軌道BCD的半徑R取不同數(shù)值，仍要使物體恰好能通過(guò)D點(diǎn)飛離圓軌道并剛好落回其對(duì)應(yīng)的出發(fā)點(diǎn)，恒定外力F的大小也應(yīng)隨之改變．你是否同意他的觀點(diǎn)，若同意，求出F與R的關(guān)系式；若不同意，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．

Answer 1

分析：（1）物體恰好通過(guò)最高點(diǎn)，意味著在最高點(diǎn)是軌道對(duì)滑塊的壓力為0，即由重力恰好提供向心力，這樣可以求出滑塊經(jīng)過(guò)D點(diǎn)的速度v_D．滑塊從D點(diǎn)離開(kāi)軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求x．在從B到D的過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)僅受重力和軌道的支持力，而軌道的支持力不做功，共可以根據(jù)動(dòng)能定理求出物體在B的速度，在B點(diǎn)根據(jù)支持力和重力的合力提供向心力得出物體在B點(diǎn)所受的支持力，即得到滑塊對(duì)軌道的壓力．
（2）滑塊從出到D的整個(gè)過(guò)程中，運(yùn)用動(dòng)能定理和臨界條件得到F的表達(dá)式，再進(jìn)行說(shuō)明．

解答：解：（1）小滑塊恰好通過(guò)最高點(diǎn)，則有
   mg=m

v 2 D

R

解得，v_D=

gR

滑塊從D點(diǎn)離開(kāi)軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，則
  2R=

1

2

gt2
  x=v_Dt
求得x=2R=1.8m
在從B到D的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
-2mgR=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 B

對(duì)B點(diǎn)：F_N-mg=m

v 2 B

R

聯(lián)立解得，F(xiàn)_N=60N
由牛頓第三定律知，滑塊對(duì)軌道的壓力為60N．
（2）不同意．
滑塊由出發(fā)到D點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得
   Fx-μmgx-2mgR=

1

2

m

v

2 D

又x=2R，v_D=

gR

，
代入解得，F(xiàn)=1.75mg，為一與R無(wú)關(guān)的定值．
答：
（1）當(dāng)R=0.90m時(shí)，滑塊出發(fā)點(diǎn)到B點(diǎn)之間的距離x是1.8m．滑塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)進(jìn)入圓形軌道時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為60N；
（2）不同意．F=1.75mg，為一與R無(wú)關(guān)的定值．

點(diǎn)評(píng)：物體恰好通過(guò)D點(diǎn)是本題的突破口，這一點(diǎn)要注意把握；題目要求滑塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)進(jìn)入圓形軌道時(shí)對(duì)軌道的壓力大小而根據(jù)物體在B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況所求的是軌道對(duì)物體的支持力，故運(yùn)動(dòng)別忘記“由牛頓第三定律知滑塊在B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力為60 N”．