Question

7．如圖所示，質量M的小球套在固定傾斜的光滑桿上，原長為l₀的輕質彈簧一端固定于O點，另一端與小球相連，彈簧與桿在同一豎直平面內，圖中AO水平，BO間連線長度恰好與彈簧原長相等，且與桿垂直，O′在O的正下方，C是AO′段的中點，θ=30°，當小球在A處受到平行于桿的作用力時，恰好與桿間無相互作用，且處于靜止狀態(tài)，撤去作用力，小球沿桿下滑過程中，彈簧始終處于彈性限度內，不計小球的半徑，重力加速度為g，求：
（1）小球滑動B點時的加速度；
（2）輕質彈簧的勁度系數(shù)；
（3）小球下滑到C點時的速度．

Answer 1

分析 （1）小球滑動B點時桿對球的彈力為零，小球只受重力和彈簧的彈力，根據(jù)牛頓第二定律求加速度．
（2）研究小球在A點時的狀態(tài)，由幾何關系求出此時彈簧的伸長量，由平衡條件和胡克定律結合求彈簧的勁度系數(shù)；
（3）由于OA=OC，所以彈簧在A點和C點時彈性勢能相等，對系統(tǒng)，運用機械能守恒定律求小球下滑到C點時的速度．

解答 解：（1）小球滑動B點時小球只受重力和彈簧的彈力，且彈力與桿垂直，由牛頓第二定律得：
Mgcosθ=Ma
解得：a=gcosθ，方向沿桿向下
（2）在A點，彈簧的伸長量為：
△x=$\frac{{l}_{0}}{cos30°}$-l₀=（$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$）l₀．
對小球，由平衡條件得：
F_彈=Mgtanθ
由胡克定律得：F_彈=k△x
聯(lián)立解得：k=$\frac{\sqrt{3}Mg}{（2\sqrt{3}-3）{l}_{0}}$
（3）由幾何關系得 OA=OC，所以彈簧在A點和C點時彈性勢能相等，并由幾何知識可得小球沿桿下滑的豎直高度為l₀．
對系統(tǒng)，小球從A運動到B的過程，由機械能守恒定律得：
Mgl₀+△E_彈=$\frac{1}{2}M{v}_{C}^{2}$-0
其中△E_彈=0
解得：v_C=$\sqrt{2g{l}_{0}}$，方向沿桿向下
答：（1）小球滑動B點時的加速度大小為gcosθ，方向沿桿向下；
（2）輕質彈簧的勁度系數(shù)為$\frac{\sqrt{3}Mg}{（2\sqrt{3}-3）{l}_{0}}$；
（3）小球下滑到C點時的速度大小為$\sqrt{2g{l}_{0}}$，方向沿桿向下．

點評 本題的關鍵要能正確分析小球的受力情況和運動情況，特別是分析彈簧的狀態(tài)，判斷初末狀態(tài)彈性勢能關系．要知道系統(tǒng)的機械能是守恒的，但小球的機械能并不守恒．