Question

4．兩根相距L=0.5m的足夠長(zhǎng)的金屬導(dǎo)軌如圖甲所示放置，他們各有一邊在同一水平面上，另一邊垂直于水平面．金屬細(xì)桿ab、cd的質(zhì)量均為m=0.05kg，電阻均為R=1.0Ω，它們與導(dǎo)軌垂直接觸形成閉合回路，桿與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=1.0T、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．當(dāng)ab桿在平行于水平導(dǎo)軌的拉力F作用下沿導(dǎo)軌向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，從某一時(shí)刻開(kāi)始釋放cd桿，并且開(kāi)始計(jì)時(shí)，cd桿運(yùn)動(dòng)速度c隨時(shí)間變化的圖象如圖乙所示（在0～1.0s和2.0～3.0s內(nèi)，cd做勻變速直線運(yùn)動(dòng)．g=10m/s² ）．求：
（1）在0～1.0s時(shí)間內(nèi)，回路中感應(yīng)電流I₁的大��；
（2）在0～3.0s時(shí)間內(nèi)，ab桿在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的最大速度V_m；
（3）已知1.0～2.0s內(nèi)，ab桿做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，寫(xiě)出1.0～2.0s內(nèi)拉力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系式，并在圖丙中畫(huà)出在0～3.0s內(nèi)，拉力F隨時(shí)間t變化的圖象．（不需要寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程，只需寫(xiě)出表達(dá)式和畫(huà)出圖線）

Answer 1

分析 （1）由圖看出，在0～1.0s時(shí)間內(nèi)，cd桿做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所受的安培力是恒力，根據(jù)速度圖象的斜率求出加速度，由牛頓第二定律和安培力公式求解回路中感應(yīng)電流的大�。�
（2）在2s～3s時(shí)間內(nèi)，cd桿做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，安培力最大．由圖象的斜率求出加速度，根據(jù)牛頓第二定律可求出回路中感應(yīng)電流的大小；由閉合電路歐姆定律
（3）分段由牛頓第二定律求出拉力，再作出圖象．

解答 解：（1）在0～1s時(shí)間內(nèi)，cd桿向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，
由乙圖可知：${a_1}=\frac{{{V_1}-{V_0}}}{t}=4m/{s^2}$，
對(duì)cd桿進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律有：
在豎直方向上：mg-f₁=ma₁，
在水平方向上：N₁-F_安1=0   F_安1=I₁LB  f₁=μN(yùn)₁=μBI₁L，
解得：${I_1}=\frac{{m（g-{a_1}）}}{μBL}=\frac{0.05×（10-4）}{0.5×1×0.5}=1.2A$；   
（2）在2～3s時(shí)間內(nèi)，cd桿向下做勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，
由乙圖可知，加速度：${a_3}=\frac{{{V_2}-{V_3}}}{t}=4m/{s^2}$，
對(duì)cd桿進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律有：
在豎直方向上：f₃-mg=ma₃ ，
在水平方向上：N₃-F_安3=0  F_安3=I₃LB  f₃=μN(yùn)₃=μBI₃L，
解得：${I_3}=\frac{{m（g+{a_3}）}}{μBL}=\frac{0.05×（10+4）}{0.5×1×0.5}=2.8A$，
電動(dòng)勢(shì)：E₃=I₃×2R=5.6V，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E₃=BLV₃，
ab桿的最大速度為：${V_m}={V_3}=\frac{E_3}{BL}=11.2m/s$；  
（3）在0～1.0s內(nèi)，ab桿做勻速運(yùn)動(dòng)：F₁=BI₁L+μmg=0.85N，${V_1}=\frac{{2{I_1}R}}{BL}=4.8m/s$，
在2.0～3.0s內(nèi)，ab桿做勻速運(yùn)動(dòng)：F₃=BI₃L+μmg=1.65N，${V_3}=\frac{{2{I_3}R}}{BL}=11.2m/s$，
在1～2s內(nèi)，ab桿做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為：${a_2}=\frac{{{V_3}-{V_1}}}{t_2}=6.4m/{s^2}$，
對(duì)ab桿分析，根據(jù)牛頓第二定律有：$F-μmg-\frac{{{B^2}{L^2}[{V_1}+{a_2}（t-1）]}}{2R}=m{a_2}$（1s＜t＜2s）
所以表達(dá)式為：F=1.17+0.8（t-1）（1s＜t＜2s）
當(dāng)t=1s時(shí)拉力為：F_2min=1.17N
當(dāng)t=2s時(shí)拉力為：F_2max=1.97N
在0～3.0s內(nèi)，拉力F隨時(shí)間t變化的圖象如圖所示：

答：（1）在0～1.0s時(shí)間內(nèi)，回路中感應(yīng)電流I₁的大小1.2A；
（2）在0～3.0s時(shí)間內(nèi)，ab桿在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的最大速度V_m為11.2m/s；
（3）已知1.0～2.0s內(nèi)，ab桿做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，1.0～2.0s內(nèi)拉力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為：F=1.17+0.8（t-1）（1s＜t＜2s），在0～3.0s內(nèi)，拉力F隨時(shí)間t變化的圖象如圖所示．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及電磁感應(yīng)過(guò)程中的復(fù)雜受力分析，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求解感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，然后根據(jù)牛頓第二定律求解拉力的大小，進(jìn)一步根據(jù)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)列方程求解．