Question

6．如圖，直角坐標(biāo)系xOy中，A、C分別為x、y軸上的兩點(diǎn)，OC長為L，∠OAC=30°，△OAC區(qū)域內(nèi)有垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，區(qū)域外無磁場(chǎng)，有大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，以平行于y軸方向從OA邊各處持續(xù)不斷射入磁場(chǎng)，已知能從AC邊垂直射出的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，不考慮粒子間的相互作用且粒子重力不計(jì)．
（1）求磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（2）有些粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)與AC邊相切，求相切軌跡的最大半徑r_m及其對(duì)應(yīng)的入射速度v_m；
（3）若粒子入射速度相同，有些粒子能在邊界AC上相遇，求相遇的粒子入射時(shí)間差的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件，已知垂直于AC邊射出的粒子在磁場(chǎng)中的時(shí)間為t，顯然，其偏轉(zhuǎn)角為90°，根據(jù)周期公式就能求出磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（2）顯然與AC相切的最大半徑是從O點(diǎn)出發(fā)的粒子，畫出其運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系求出半徑，由洛侖茲力提供向心力從而求出最大速度．
（3）由于入射速度相同，則半徑一樣，能在AC邊相遇的情形有多種，兩圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角之差△θ最大時(shí)，兩粒子入射的時(shí)間差最大．由分析知道：當(dāng)兩個(gè)粒子軌跡圓心與AC上相遇點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形時(shí)，兩個(gè)粒子相遇的時(shí)間差最大．

解答 解：（1）恰恰好垂直于AC邊射出磁場(chǎng)的軌跡如圖，根據(jù)幾何知識(shí)得，在磁場(chǎng)
  中的軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角θ=30°，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：
   t=$\frac{θ}{360°}T$  
  又T=$\frac{2πm}{qB}$
  得到：B=$\frac{πm}{6qt}$
（2）從O點(diǎn)入射的粒子精悍AC邊相切時(shí)半徑最大，根據(jù)幾何關(guān)系得：
   r_m+$\frac{{r}_{m}}{sin30°}=\frac{L}{tan30°}$
  根據(jù)牛頓第二定律得：$q{v}_{m}B=m\frac{{{v}_{m}}^{2}}{{r}_{m}}$
  所以r_m=$\frac{\sqrt{3}L}{3}$
       v_m=$\frac{\sqrt{3}πL}{18t}$
（3）由于入射速度相同，則半徑一樣，能在AC邊相遇的情形有多種，兩
   圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角之差△θ最大時(shí)，兩粒子入射的時(shí)間差最大．如圖甲，
△O₁BO₂為等腰三角形，由幾何關(guān)系得：
△θ=θ₁-θ₂=∠O₁BO₂
  又θ₁+θ₂=180°
  得△θ=2θ₁-180°
  可見：θ₁最大時(shí)，△θ最大．
  而當(dāng)B為切點(diǎn)時(shí)，θ₁最大（如圖乙），△O₁BO₂為等邊三角形，由幾何關(guān)系得：
△θ=60°
  則$△{t}_{max}=\frac{△θ}{360°}T=\frac{1}{6}×\frac{2πm}{q×\frac{πm}{6qt}}=2t$
答：（1）磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{πm}{6qt}$．
（2）有些粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)與AC邊相切，相切軌跡的最大半徑r_m及其對(duì)應(yīng)的入射速度v_m為$\frac{\sqrt{3}πL}{18t}$．
（3）若粒子入射速度相同，有些粒子能在邊界AC上相遇，相遇的粒子入射時(shí)間差的最大值為2t．

點(diǎn)評(píng) 該題是純粹的帶電粒子在磁場(chǎng)中以相同的方向進(jìn)入三角形區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的特例，其不同之處在于第三問的相遇問題且求相遇的最大時(shí)間差，要找到此種情況的情形，畫出兩個(gè)粒子的軌跡圖，由周期公式能求出最大時(shí)間差．