Question

11．如圖所示，水平軌道A點左側(cè)光滑，右側(cè)粗糙，距A點s=1.0m的B端與半徑R=0.25m的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直．一小物塊m₁以v₀=3.0m/s的速度，與靜置于A點的小物塊m₂發(fā)生彈性碰撞．碰后m₂沿水平軌道運動，然后滑上軌道BCD．已知m₂=2.0kg，m₂與AB軌道間的動摩擦因數(shù)μ=0.20，g取10m/s²．
（1）若物塊m₂進入半圓軌道的B點時對軌道的壓力大小為68N，求物塊m₂到達半圓軌道的中點C點時的速度大小V_C；
（2）若物塊m₂能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求物塊m₂碰后的最大速度V₁；
（3）若物塊m₂能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求物塊m₁的質(zhì)量取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第三定律知，物塊剛進入圓軌道時受到的支持力N=68N，由機械能守恒定律結(jié)合牛頓第二定律列式求解即可；
（2）要使m₂仍能沿圓軌道滑回，m₂在圓軌道的上升高度不能超過半圓軌道的中點C，應(yīng)用動能定理可以求出m₂碰后的速度；
（3）碰撞過程動量守恒、機械能守恒，應(yīng)用動量守恒定律以及機械能守恒定律可以求出m₂的質(zhì)量范圍．

解答 解：（1）由牛頓第三定律知，物塊剛進入圓軌道時受到的支持力N=68N，
設(shè)物塊m₂經(jīng)過B點時的速度為v_B，
由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{C}}^{2}+{m}_{2}gR$…①
由牛頓第二定律得：$N-{m}_{2}g={m}_{2}\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$…②
解得物塊m₂到達半圓軌道的中點C點時的速度大小為：v_C=1.0m/s
（2）要使m₂仍能沿圓軌道滑回，m₂在圓軌道的上升高度不能超過半圓軌道的中點C，
設(shè)碰后m₂的速度為v₁時恰能滑到C點，由動能定理有：$-μ{m}_{2}gs-{m}_{2}gR=0-\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{1}}^{2}$…③
解得：v₁=3.0m/s（此為m₂碰后的最大速度）
（3）設(shè)碰后m₂的速度為v₂時恰能滑到B點，由動能定理有：$-μ{m}_{2}gs=0-\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}$
解得：v₂=2.0m/s碰后m₂的速度滿足2.0m/s＜v≤3.0m/s時，m₂能滑上圓軌道，并仍能沿圓軌道滑下
設(shè) m₁、m₂發(fā)生彈性碰撞后的速度分別為v₁′、v₂′，以m₁的初速度方向為正方向，根據(jù)動量守恒定律得：m₁v₀=m₁v₁′+m₂v₂′，
碰撞過程無動能損失，有：$\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}{′}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}{′}^{2}$
得：${v}_{2}′=\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}{v}_{0}$，
由2.0m/s＜$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}{v}_{0}$≤3.0m/s，
解得：1.0kg＜m₁≤2.0kg．
答：（1）若物塊m₂進入半圓軌道的B點時對軌道的壓力大小為68N，求物塊m₂到達半圓軌道的中點C點時的速度大小V_C；
（2）若物塊m₂能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求物塊m₂碰后的最大速度V₁；
（3）若物塊m₂能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求物塊m₁的質(zhì)量取值范圍．

點評 本題考查了求壓力、速度與質(zhì)量范圍問題，分析清楚物體運動過程是解題的前提與關(guān)鍵，分析清楚物體運動過程后應(yīng)用動量守恒定律、動能定理、機械能守恒定律可以解題．