Question

3．我國首個月球探測計劃“嫦娥工程”將分三個階段實施，大約用十年左右時間完成，這極大地提高了同學(xué)們對月球的關(guān)注程度．以下是某同學(xué)就有關(guān)月球的知識設(shè)計的兩個問題，請你解答：
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運動的周期為T，且把月球繞地球的運動近似看作是勻速圓周運動．試求出月球繞地球運動的軌道半徑．
（2）若某位宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球某水平表面上方h高處以速度v₀水平拋出一個小球，小球落回到月球表面的水平距離為s．已知月球半徑為R_月，萬有引力常量為G．試求出月球的質(zhì)量M_月．

Answer 1

分析 （1）月球繞地球的運動時，由地球的萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律列出月球的軌道半徑與地球質(zhì)量等物理量的關(guān)系式；物體在地球表面上時，由重力等于地球的萬有引力求出地球的質(zhì)量，再求出月球的軌道半徑．
（2）小球在在月球某水平表面上方h高處以速度v₀水平拋出一個小球，求出月球表面的重力加速度，根據(jù)重力等于萬有引力求出月球的質(zhì)量．

解答 解：（1）地球表面的物體受到的重力等于萬有引力：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
月球繞地球做圓周運動，萬有引力題干向心力，由牛頓第二定律得：G$\frac{M{m}_{月}}{{r}^{2}}$=m_月$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，
解得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）小球做平拋運動，
豎直方向：h=$\frac{1}{2}$g_月t²，
水平方向：s=₀t，
萬有引力等于重力：G$\frac{{M}_{月}m}{{R}_{月}^{2}}$=mg_月，
解得：M_月=$\frac{2h{R}_{月}^{2}{v}_{0}^{2}}{G{s}^{2}}$；
答：（1）球繞地球運動的軌道半徑為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）月球的質(zhì)量M_月為$\frac{2h{R}_{月}^{2}{v}_{0}^{2}}{G{s}^{2}}$．

點評 本題是衛(wèi)星類型的問題，常常建立這樣的模型：環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運動，由中心天體的萬有引力提供向心力．