Question

2．如圖所示，在0≤x≤3a、0≤y≤a范圍內(nèi)有垂直于xy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B坐標(biāo)，原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，朝第一象限各個(gè)方向發(fā)射大量各種速度的某種帶正電粒子，已知粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，不計(jì)粒子重力．
（1）若所有粒子都無(wú)法從CD邊射出，求粒子速度的最大值：
（2）對(duì)于能從C點(diǎn)射出磁場(chǎng)的粒子，求在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間（．可用反三角函數(shù)喪示）

Answer 1

分析 （1）臨界情況是軌跡圓與AC邊相切且粒子從D點(diǎn)射出，畫出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系得到軌道半徑，根據(jù)牛頓第二定律列式求解出最大速度；
（2）能夠從C點(diǎn)射出的粒子，如果速度最大，則軌道半徑最小，對(duì)應(yīng)的圓心角最大，臨界情況是軌跡與AC相切且經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，畫出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系得到軌道半徑，根據(jù)t=$\frac{θ}{2π}T$求解時(shí)間．

解答 解：（1）畫出臨界軌跡，如圖所示：

結(jié)合幾何關(guān)系，有：
R²=（1.5a）²+（R-a）²
解得：
R=1.625a
根據(jù)牛頓第二定律，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：
$v=\frac{13qBa}{8m}$
（2）當(dāng)軌跡與AC相切且經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，軌跡如圖：

結(jié)合幾何關(guān)系，有：
R²=（3a）²+（R-a）²
解得：
R=5a
根據(jù)牛頓第二定律，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：
$v=\frac{5qBa}{m}$
sinθ=$\frac{3a}{R}=0.6$
故θ=37°=$\frac{37°}{360°}×2π$≈0.65rad
故運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
t=$\frac{θR}{v}$=$\frac{0.65×5a}{\frac{5qBa}{m}}$=$\frac{0.65m}{qB}$
答：（1）若所有粒子都無(wú)法從CD邊射出，粒子速度的最大值為$\frac{13qBa}{8m}$；
（2）對(duì)于能從C點(diǎn)射出磁場(chǎng)的粒子，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為$\frac{0.65m}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，找出臨界軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解軌道半徑，結(jié)合牛頓第二定律列式求解．