Question

如圖所示，第一象限的某個(gè)矩形區(qū)域內(nèi)，有方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁，磁場(chǎng)的下邊界與x軸重合。一質(zhì)量m=1×10^-14 kg、電荷量q=l×10^-10 C的帶正電微粒，以某一速度v沿與y軸負(fù)方向成60°角從N點(diǎn)射入，經(jīng)P點(diǎn)進(jìn)入第四象限內(nèi)沿直線運(yùn)動(dòng)，一段時(shí)間后，小球經(jīng)過y軸上的M點(diǎn)并沿與y軸負(fù)方向成60°角的方向飛出，第四象限內(nèi)有互相正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)E與勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂，E的大小為0.5×10³ V/m，B₂的大小為0.5 T；M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-10），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，30），不計(jì)粒子重力。
（1）求勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁的大小和微粒的運(yùn)動(dòng)速度v；
（2）B₁磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為多少？

Answer 1

解：（1）帶正電微粒以某一速度v沿與y軸負(fù)方向60°角從N 點(diǎn)射入，由于重力忽略不計(jì)，微粒在第一象限內(nèi)僅受洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；微粒在第四象限內(nèi)僅受電場(chǎng)力和洛倫茲力，且微粒做直線運(yùn)動(dòng)，速度的變化會(huì)引起洛倫茲力的變化，所以微粒必做勻速直線運(yùn)動(dòng)，因此，電場(chǎng)力和洛倫茲力大小相等，方向相反，由力的平衡有Eq=B₂qv
所以v=
根據(jù)題意畫出微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
 
因?yàn)镸點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-10），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，30），由幾何關(guān)系可知微粒在第一象限內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為
微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛倫茲力提供，即
解得
（2）由圖可知，磁場(chǎng)B₁的最小區(qū)域應(yīng)該分布在圖示的矩形PACD內(nèi)
由幾何關(guān)系易得PD=2Rsin60°=0.2 m，
所以，所求磁場(chǎng)的最小面積為