Question

3．如圖所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星球相對(duì)飛行器的張角為θ，已知萬有引力常量G，下列說法正確的是（　�。�

• A． 若測(cè)得周期和張角，可得到星球的質(zhì)量
• B． 若測(cè)得周期和軌道半徑，可得到星球的平均密度
• C． 若測(cè)得周期、軌道半徑和張角，可得到星球表面的重力加速度
• D． 若測(cè)得周期、軌道半徑和張角，可得到飛行器的向心力

Answer 1

分析 飛行器繞某星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由星球的萬有引力提供向心力，根據(jù)萬有引力定律和幾何知識(shí)、密度公式可求解星球的平均密度；星球表面物體的重力等于萬有引力，可以求出星球表面的重力加速度，據(jù)此分析需要測(cè)量的物理量

解答 解：AB、設(shè)星球的質(zhì)量為M，半徑為R，平均密度為ρ．張角為θ，飛行器的質(zhì)量為m，軌道半徑為r，周期為T．對(duì)于飛行器，根據(jù)萬有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，由幾何關(guān)系有：$R=rsin\frac{θ}{2}$，星球的平均密度 $M=ρ•\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，由以上三式得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，可知測(cè)出周期和軌道半徑可以求出星球的質(zhì)量；
星球密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}（sin\frac{θ}{2}）_{\;}^{3}}$，知測(cè)得周期和張角可得到星球的平均密度，故AB錯(cuò)誤；
C、由AB分析知，由周期和軌道半徑可以求出星球的質(zhì)量，由軌道半徑和張角可求出星球半徑，根據(jù)星球表面物體的重力等于萬有引力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，得$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$，所以知測(cè)得周期、軌道半徑和張角，可得到星球表面的重力加速度．故C正確；
D、因?yàn)椴恢�道飛行器的質(zhì)量，所以無法得到飛行器的向心力．故D錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵掌握開普勒定律和萬有引力等于向心力這一基本思路，結(jié)合幾何知識(shí)進(jìn)行解題．