Question

【題目】在行星繞太陽(yáng)的橢圓運(yùn)動(dòng)中，若令，，其中，為周期，為半長(zhǎng)軸，為離心率．在天文學(xué)上，稱為偏近點(diǎn)角，試證開(kāi)普勒方程：．（當(dāng)行星處子近日點(diǎn)時(shí)，取，即）注：偏近點(diǎn)角是過(guò)橢圓上的任意一點(diǎn)，垂直于橢圓半長(zhǎng)軸，交半長(zhǎng)軸外接圓的點(diǎn)到原點(diǎn)的直線與半長(zhǎng)軸所成夾角．在橢圓的參數(shù)方程，中，參數(shù)角即為偏近點(diǎn)角

Answer 1

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】

方法1：由能量關(guān)系，得

則． ①

由于，則．

由于，其中，則．

由于，則

， ②

則， ③

． ④

把③④代入①，得．

代入②，得．

由開(kāi)普勒第三定律，得，則．

積分，得．

由于處于近點(diǎn)時(shí)，，而此時(shí)，得，則，

即．

方法2：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則軌道方程為

．

同時(shí)，，．

對(duì)于任意一點(diǎn)，有，

而，則．

為此，作以為圓心，以為半徑的圓，方程為．

過(guò)作軸平行線交圓于，則，．

為從近日點(diǎn)到任意點(diǎn)的時(shí)間，其間轉(zhuǎn)過(guò)了圈，則．

為面積速度，，關(guān)鍵是求，由于對(duì)于同樣的，橢圓、圓上對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)、，易知，則，則．

又，

．

則，

則，

則，

則．

上面計(jì)算中，只取了中的一個(gè)值，故只需再推廣的定義，上式即化為．