Question

如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，MN為其左邊界．磁場(chǎng)中有一半徑為R、軸線與磁場(chǎng)平行的金屬圓筒，圓筒的圓心O到MN的距離OO₁=3R，O₁O所在直線與圓筒右側(cè)壁交于A點(diǎn)．圓筒通過導(dǎo)線和電阻r₀接地．現(xiàn)有范圍足夠大的平行電子束以相同的速度從很遠(yuǎn)處垂直于MN向右射入磁場(chǎng)區(qū)．當(dāng)金屬圓筒最初不帶電時(shí)，圓筒上以A點(diǎn)和C點(diǎn)為界，在ADC弧上各點(diǎn)都能接收到電子，而AEC弧上各點(diǎn)均不能接收到電子；當(dāng)圓筒上電荷量達(dá)到相對(duì)穩(wěn)定后，通過電阻r₀的電流恒為I．已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略運(yùn)動(dòng)電子間的相互作用和圓筒的電阻，取大地為零電勢(shì)點(diǎn)．求：
（1）電子射入磁場(chǎng)時(shí)的初速度v₀；
（2）電阻r₀的電流恒定時(shí)金屬圓筒的電勢(shì)φ；
（3）電阻r₀的電流恒定時(shí)電子到達(dá)圓筒時(shí)速度v和金屬圓筒的發(fā)熱功率P．

Answer 1

（1）根據(jù)題意，電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑必定是r=4R，如圖所示．由  qvB=m

v02

r

得：v0=

4eBR

m

（2）穩(wěn)定時(shí)，圓柱體上電荷不再增加，與地面電勢(shì)差恒為U
U=Ir₀
電勢(shì) φ=-Ir₀
（3）電子從很遠(yuǎn)處射到圓柱表面時(shí)速度滿足-eU=

1

2

mv2-

1

2

mv02
得：v=

v02- 2eIr0 m

電流為I，單位時(shí)間到達(dá)圓筒的電子數(shù)：n=

I

e

電子所具有總能量：E=n×

1

2

mv02=

mIv02

2e

消耗在電阻上的功率 P_r=I²r₀
所以圓筒發(fā)熱功率：P=

mIv02

2e

-I2r0
答：
（1）電子射入磁場(chǎng)時(shí)的初速度：v0=

4eBR

m

（2）電阻r₀的電流恒定時(shí)金屬圓筒的電勢(shì)：-Ir₀
（3）電阻r₀的電流恒定時(shí)電子到達(dá)圓筒時(shí)速度：v=

v02- 2eIr0 m

金屬圓筒的發(fā)熱功率：P=

mIv02

2e

-I2r0