Question

8．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的第一象限內(nèi)有一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.2T的矩形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出），其方向垂直于xOy平面向里；第二象限有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E=2×10³ V/m．在y軸上的P點(diǎn)處有一個(gè)質(zhì)量m=4×10^-20kg、電荷量q=2×10^-14C的帶正電粒子垂直于y軸以V₀=3×10⁴ m/s的速度沿x軸的正方向射入第一象限，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后又恰好回到y(tǒng)軸上的P點(diǎn)，再以垂直于電場(chǎng)的方向進(jìn)入第二象限，最后垂直打在x軸上的A點(diǎn)．已知粒子在電場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間t=$\sqrt{3}$×10^-5s，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{3\sqrt{3}}{40}$m，0），粒子的重力不計(jì)，求：（結(jié)果可保留根號(hào)）
（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和從P點(diǎn)進(jìn)入第二象限時(shí)速度與y軸負(fù)方向的夾角θ．
（2）粒子在xOy平面的第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₀．
（3）粒子在矩形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出粒子的軌道半徑；粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出粒子速度方向與y軸負(fù)方向的夾角．
（2）作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，應(yīng)用勻速勻速運(yùn)動(dòng)的速度公式與粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與幾何知識(shí)求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心坐標(biāo)．

解答 解：（1）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，代入數(shù)據(jù)解得：r=0.3m，
由題意可知，粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律得：qE=ma，
tanθ=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{0}}$=$\frac{at}{{v}_{0}}$=$\frac{qEt}{m{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得：θ=$\frac{π}{6}$；
（2）根據(jù)圖示粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)得：
α=$\frac{π}{2}$-θ=$\frac{π}{3}$，PB=CP=$\frac{r}{tan\frac{α}{2}}$=$\sqrt{3}$r，
粒子在第一象限內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：
t₀=$\frac{PB+CP}{{v}_{0}}$+$\frac{[2π-（π-α）]r}{{v}_{0}}$=$\frac{（2\sqrt{3}+\frac{4π}{3}）r}{{v}_{0}}$=7.65×10^-5s；
（3）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
PQ=v₀t    QA=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，
PA²=PQ²+AQ²=PO²+OA²，
代入數(shù)據(jù)解得：PO=$\frac{21}{40}$m，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心D的橫坐標(biāo)：
x=PB=$\sqrt{3}$r=$\frac{3\sqrt{3}}{10}$m，縱坐標(biāo)：y=PO+r=$\frac{33}{40}$m，
圓心D的坐標(biāo)：（$\frac{3\sqrt{3}}{10}$m，$\frac{33}{40}$m）；
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r為0.3m，從P點(diǎn)進(jìn)入第二象限時(shí)速度與y軸負(fù)方向的夾角θ為$\frac{π}{6}$．
（2）粒子在xOy平面的第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₀為7.65×10^-5s．
（3）粒子在矩形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心位置坐標(biāo)為：（$\frac{3\sqrt{3}}{10}$m，$\frac{33}{40}$m）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，由于粒子運(yùn)動(dòng)過程復(fù)雜，本題難度較大，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的關(guān)鍵；應(yīng)用牛頓第二定律、類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可解題；解題時(shí)注意幾何知識(shí)的應(yīng)用．