Question

9．帶電粒子在電場、磁場中的運動如圖所示，在直角坐標系x軸上方，有一半徑為R的圓，該圓的圓心為O₁，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強磁場，在x軸的下方有平行于x軸的勻強電場，場強大小為E，在A處有一帶電的粒子（質(zhì)量為m、電荷量為q），以初速度v₀垂直x軸進入磁場，經(jīng)偏轉(zhuǎn)后射出磁場，又經(jīng)過一段時間后從x軸上的C點垂直進入電場，若OA=OC=$\frac{2}{3}$R（粒子重力不計），求：
（1）勻強磁場的磁感應強度B；
（2）粒子在勻強磁場中運動的時間；
（3）粒子進入電場后到達y軸上D點時的速率及坐標．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做圓周圓周運動，作出粒子的運動軌跡，然后求出粒子的軌道半徑，洛倫茲力提供粒子做圓周運動的向心力，由牛頓第二定律看運氣求出磁感應強度．
（2）求出粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角，然后根據(jù)粒子做圓周運動的周期求出粒子在磁場中的運動時間．
（3）粒子在電場中做類平拋運動，應用類平拋運動的規(guī)律求出粒子到達D點的速度，求出D的坐標．

解答 解：粒子運動軌跡如圖所示：
（1）由幾何知識可知，粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑：r=$\frac{2}{3}$R，
粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{3m{v}_{0}}{2qR}$；
（2）粒子在磁場中做圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{4πR}{3{v}_{0}}$，
粒子在磁場中轉(zhuǎn)過半個圓周，粒子在磁場中的運動時間：t=$\frac{1}{2}$T=$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$；
（3）粒子在電場中做類平拋運動，
在豎直方向：y=v₀t，
在水平方向：$\frac{2}{3}$R=$\frac{1}{2}$at²，
由牛頓第二定律得：a=$\frac{qE}{m}$，
水平方向的分速度：v_x=at，
粒子到達D點的速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{x}^{2}}$，
解得：y=2v₀$\sqrt{\frac{mR}{3qE}}$，v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{4qER}{3m}}$；
答：（1）勻強磁場的磁感應強度B為$\frac{3m{v}_{0}}{2qR}$；
（2）粒子在勻強磁場中運動的時間為$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$；
（3）粒子進入電場后到達y軸上D點時的速率為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{4qER}{3m}}$，坐標為：（0，-2v₀$\sqrt{\frac{mR}{3qE}}$）．

點評 本題考查了粒子在電場與磁場中的運動，分析清楚粒子運動過程、作出粒子運動軌跡是正確解題的前提與關(guān)鍵，應用牛頓第二定律、類平拋運動規(guī)律可以解題．