Question

【題目】如圖1所示是游樂(lè)場(chǎng)中過(guò)山車的實(shí)物圖片，圖2是過(guò)山車的模型圖．在模型圖中半徑分別為R1=2.0m和R2=8.0m的兩個(gè)光滑圓形軌道，固定在傾角為α=37°斜軌道面上的Q、Z兩點(diǎn)，且兩圓形軌道的最高點(diǎn)A、B均與P點(diǎn)平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接．現(xiàn)使小車（視作質(zhì)點(diǎn)）從P點(diǎn)以一定的初速度沿斜面向下運(yùn)動(dòng)．已知斜軌道面與小車間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ= ，g=10m/s2 ， sin37°=0.6，cos37°=0.8．問(wèn)：

（1）若小車恰好能通過(guò)第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)A處，則其在P點(diǎn)的初速度應(yīng)為多大？
（2）若小車在P點(diǎn)的初速度為10m/s，則小車能否安全通過(guò)兩個(gè)圓形軌道？

Answer 1

【答案】
（1）解：

設(shè)小車經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的臨界速度為v1，則有

設(shè)Q點(diǎn)與P點(diǎn)高度差為h1，PQ間距離為L(zhǎng)1，

P到A對(duì)小車，由動(dòng)能定理得：

解得v01=2 m/s

答：若小車恰好能通過(guò)第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)A處，則其在P點(diǎn)的初速度應(yīng)為2 m/s；

（2）解：Z點(diǎn)與P點(diǎn)高度差為h2，PZ間距離為L(zhǎng)2

小車能安全通過(guò)兩個(gè)圓形軌道的臨界條件是在B點(diǎn)速度為v2且在B點(diǎn)時(shí)有：

設(shè)P點(diǎn)的初速度為：v02

P點(diǎn)到B點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：

解得：v02= m/s

可知v02= m/s＜10m/s，能安全通過(guò)．

答：若小車在P點(diǎn)的初速度為10m/s，則小車能安全通過(guò)兩個(gè)圓形軌道．

【解析】（1）小車恰好能通過(guò)第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)A處時(shí)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的速度．由幾何知識(shí)求出P、Q間的距離SPQ，運(yùn)用動(dòng)能定理研究小球從P到A的過(guò)程，求解P點(diǎn)的初速度．（2）首先根據(jù)小車在P點(diǎn)的初速度10m/s，與第一問(wèn)中v0比較，分析小車能否安全通過(guò)圓弧軌道O1．若小車恰能通過(guò)B點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律列方程，求出小車通過(guò)B點(diǎn)的臨界速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出小車在P點(diǎn)的臨界速度，再確定小車能否安全通過(guò)兩個(gè)圓形軌道．
【考點(diǎn)精析】掌握動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用是解答本題的根本，需要知道應(yīng)用動(dòng)能定理只考慮初、末狀態(tài)，沒有守恒條件的限制，也不受力的性質(zhì)和物理過(guò)程的變化的影響.所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用時(shí)間的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，都可以用動(dòng)能定理分析和解答，而且一般都比用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和機(jī)械能守恒定律簡(jiǎn)捷．