Question

9．如圖（甲）所示，一正方形單匝線框abcd放在光滑絕緣水平面上，線框邊長為L，質(zhì)量為m，電阻為R．該處空間存在一方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場，其右邊界MN平行于ab，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的規(guī)律如圖（乙）所示，求：
（1）若線框保持靜止，求在t₀時(shí)間內(nèi)線框產(chǎn)生的感應(yīng)電流I；
（2）若線框從零時(shí)刻起，在一水平拉力作用下由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a，經(jīng)過時(shí)間t₀線框cd邊剛要離開邊界MN．求在此過程中拉力所做的功；
（3）在（2）的情形下，為使線框在離開磁場的過程中，仍以加速度a做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，試求線框在離開磁場的過程中水平拉力F隨時(shí)間t的變化關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢，結(jié)合歐姆定律，即可求解感應(yīng)電流I；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，結(jié)合動(dòng)能定理，即可求解拉力做的功；
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，結(jié)合感應(yīng)電流表達(dá)式，及牛頓第二定律，即可求解．

解答 解：（1）線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢：$E=\frac{△φ}{△t}=\frac{△B}{△t}•S=\frac{{{B_0}{L^2}}}{t_0}$
線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電流：$I=\frac{E}{R}=\frac{{{B_0}{L^2}}}{{R{t_0}}}$
（2）t₀時(shí)刻線框的速度：v₀=at₀
在此過程中，安培力為0，拉力即為合外力，所以拉力做的功：$W=\frac{1}{2}m{v_0}^2=\frac{1}{2}m{a^2}t_0^2$
（3）設(shè)線框離開磁場過程的時(shí)間為t'，則有：$L={v_0}t'+\frac{1}{2}at{'^2}$
解得：$t'=\frac{{-{v_0}+\sqrt{v_0^2+2aL}}}{a}=\sqrt{t_0^2+\frac{2L}{a}}-{t_0}$（另一解不合符題意，舍去）
線框在離開磁場的過程中運(yùn)動(dòng)的速度：v=at
產(chǎn)生的感應(yīng)電流：$I=\frac{{{B_0}Lv}}{R}$
由牛頓第二定律得：F-B₀IL=ma
解得：$F=\frac{{B_0^2{L^2}a}}{R}•t+ma$（${t_0}≤t≤\sqrt{t_0^2+\frac{2L}{a}}$）
答：（1）在t₀時(shí)間內(nèi)線框產(chǎn)生的感應(yīng)電流I是$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R{t}_{0}}$；
（2）在此過程中拉力所做的功是$\frac{1}{2}m{a}^{2}{t}_{0}^{2}$；
（3）線框在離開磁場的過程中水平拉力F隨時(shí)間t的變化關(guān)系是：$F=\frac{{B_0^2{L^2}a}}{R}•t+ma$（${t_0}≤t≤\sqrt{t_0^2+\frac{2L}{a}}$）．

點(diǎn)評(píng) 考查法拉第電磁感應(yīng)定律與焦耳定律，及牛頓第二定律的應(yīng)用，注意數(shù)學(xué)公式求解時(shí)，時(shí)間不能為負(fù)值．