Question

12．如圖所示，一豎直固定且光滑絕緣的直圓筒底部放置一可視為點電荷的場源電荷A，已知帶電量Q=+4×10^-3 C的場源電荷A形成的電場中各點的電勢表達(dá)式為φ=k$\frac{Q}{r}$，其中k為靜電力恒量，r為空間某點到A的距離．現(xiàn)有一個質(zhì)量為m=0.1kg的帶正電的小球B，它與A球間的距離為a=0.4m，此時小球B處于平衡狀態(tài)，且小球B在場源電荷A形成的電場中具有的電勢能表達(dá)式為?=k$\frac{Qq}{r}$，其中r為q與Q之間的距離．另一質(zhì)量也為m的不帶電絕緣小球C從距離B的上方H=0.8m處自由下落，落在小球B上立刻與小球B粘在一起以2m/s向下運動，它們到達(dá)最低點后又向上運動，向上運動到達(dá)的最高點為P（已知k=9×10⁹ N•m²/C²），求：
（1）小球C與小球B碰撞前的速度大小v₀為多少？
（2）小球B的帶電量q為多少？
（3）P點與小球A之間的距離為多大？
（4）當(dāng)小球B和C一起向下運動與場源電荷A距離多遠(yuǎn)時，其速度最大？速度的最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由下落的公式求出下落H距離的速度，由動量守恒定律求得C與小球B碰撞后的速度
（2）小球B在碰撞前處于平衡狀態(tài)，根據(jù)平衡條件求解小球B的帶電量
（3）C和B向下運動到最低點后又向上運動到P點，運動過程中系統(tǒng)能量守恒和能量守恒，列出等式求解
（4）對C和B整體進(jìn)行受力分析，由能量守恒列出等式求解

解答 解：（1）小球C自由下落H距離的速度v₀=$\sqrt{2gH}$=4 m/s
小球C與小球B發(fā)生碰撞，由動量守恒定律得：mv₀=2mv₁，
所以v₁=2 m/s
（2）小球B在碰撞前處于平衡狀態(tài)，
對B球進(jìn)行受力分析知：$mg=\frac{kQq}{{a}^{2}}$，
代入數(shù)據(jù)得：$q=\frac{4}{9}×1{0}^{-8}C$
（3）C和B向下運動到最低點后又向上運動到P點，運動過程中系統(tǒng)能量守恒，
設(shè)P與A之間的距離為x，
由能量守恒得：$\frac{1}{2}×2{mv}_{1}^{2}+\frac{kQq}{a}=2mg（x-a）+\frac{kQq}{x}$
代入數(shù)據(jù)得：x=（0.4+$\frac{\sqrt{2}}{5}$） m（或x=0.683 m）
（4）當(dāng)C和B向下運動的速度最大時，與A之間的距離為y，
對C和B整體進(jìn)行受力分析有：$2mg=\frac{kQq}{{y}^{2}}$，
代入數(shù)據(jù)有：y=$\frac{\sqrt{2}}{5}$m（或y=0.283 m）
由能量守恒得：$\frac{1}{2}×2{mv}_{1}^{2}+\frac{kQq}{a}=\frac{1}{2}×2{mv}_{m}^{2}-2mg（x-y）+\frac{kQq}{x}$
代入數(shù)據(jù)得：${v}_{m}=\sqrt{16-8\sqrt{2}}m/s$（或v_m=2.16 m/s）
答：（1）小球C與小球B碰撞后的速度為2 m/s
（2）小球B的帶電量q為$\frac{4}{9}×1{0}^{-8}$C
（3）P點與小球A之間的距離為（0.4+$\frac{\sqrt{2}}{5}$） m
（4）當(dāng)小球B和C一起向下運動與場源A距離是$\frac{\sqrt{2}}{5}$m，速度最大．其速度最大是$\sqrt{16-8\sqrt{2}}$m/s

點評 本題考察了運動學(xué)公式，平衡條件，系統(tǒng)能量守恒和能量守恒，要分析物體的運動過程，合理的選擇物理規(guī)律