Question

1．空間三維直角坐標(biāo)系o-xyz如圖所示（重力沿y軸負(fù)方向），同時(shí)存在與xoy平面平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，它們的方向與x軸正方向的夾角均為53°．（已知重力加速度為g，sin53°=0.8，cos53°=0.6）
（1）若一電荷量為+q、質(zhì)量為m的帶電質(zhì)點(diǎn)沿平行于z軸正方向的速度v₀做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（2）若一電荷量為-q、質(zhì)量為m的帶電質(zhì)點(diǎn)沿平行于z軸正方向以速度v₀通過y軸上的點(diǎn)P（0，h，0）時(shí)，調(diào)整電場(chǎng)使其方向沿x軸負(fù)方向、大小為E₀．適當(dāng)調(diào)整磁場(chǎng)，則能使帶電質(zhì)點(diǎn)通過坐標(biāo)Q（h，0，0.5h）點(diǎn)，問通過Q點(diǎn)時(shí)其速度大��；
（3）若一電荷量為-q、質(zhì)量為m的帶電質(zhì)點(diǎn)沿平行于z軸正方向以速度v₀通過y軸上的點(diǎn)P（0，0.6h，0）時(shí)，改變電場(chǎng)強(qiáng)度大小和方向，同時(shí)改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，但不改變其方向，帶電質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)能經(jīng)過x軸上的某點(diǎn)M，問電場(chǎng)強(qiáng)度E'和磁感應(yīng)強(qiáng)度B'的大小滿足什么條件？并求出帶電質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過x軸M點(diǎn)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）電荷受重力、洛倫茲力和電場(chǎng)力，三力平衡，根據(jù)平衡條件列式求解；
（2）應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出粒子的速度；
（3）作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）在xoy平面內(nèi)質(zhì)點(diǎn)受力如圖所示，電場(chǎng)力F₁方向與洛倫茲力F₂方向垂直，
根據(jù)物體的平衡條件有：qE=mgsin53°，qv₀B=mgcos53°，解得：E=$\frac{4mg}{5q}$，B=$\frac{3mg}{5q{v}_{0}}$；
（2）洛倫茲力不做功，所以，由P點(diǎn)到Q點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理：
$\frac{1}{2}$mv_Q²-$\frac{1}{2}$mv₀²=mgh+qE₀h，解得：v_Q=$\sqrt{2（g+\frac{q{E}_{0}}{m}）h+{v}_{0}^{2}}$；
（3）當(dāng)電場(chǎng)力和重力平衡時(shí)，帶電質(zhì)點(diǎn)只受洛倫茲力作用，
在v₀方向和F₂=B′qv₀方向所在直線決定平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示．

E′q=mg，解得：E′=$\frac{mg}{q}$，方向豎直向下，
要使帶電質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過x軸，圓周的直徑：2r=$\frac{0.6h}{cos53°}$=h，
由牛頓第二定律得：qv₀B′=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：B′=$\frac{2m{v}_{0}}{qh}$，
帶電質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)周期為：T=$\frac{2πm}{qB′}$=$\frac{πh}{{v}_{0}}$，
質(zhì)點(diǎn)經(jīng)半個(gè)周期第一次通過x軸，以后每經(jīng)過整周期又經(jīng)過x軸．
所示經(jīng)過x軸的時(shí)間為：t=$\frac{1}{2}$T+nT=（$\frac{1}{2}$+n）$\frac{πh}{{v}_{0}}$ （n=1、2、3…）；
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E大小為$\frac{4mg}{5q}$，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{3mg}{5q{v}_{0}}$；
（2）通過Q點(diǎn)時(shí)其速度大小為$\sqrt{2（g+\frac{q{E}_{0}}{m}）h+{v}_{0}^{2}}$；
（3）問電場(chǎng)強(qiáng)度E′大小為：$\frac{mg}{q}$，磁感應(yīng)強(qiáng)度B′大小為：$\frac{2m{v}_{0}}{qh}$，帶電質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過x軸M點(diǎn)的時(shí)間為：（$\frac{1}{2}$+n）$\frac{πh}{{v}_{0}}$ （n=1、2、3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，分勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻速圓周運(yùn)動(dòng)和類似平拋運(yùn)動(dòng)三種情況進(jìn)行研究．