Question

15．物體在萬(wàn)有引力場(chǎng)中具有的勢(shì)能叫引力勢(shì)能，若取兩物體相距無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)的引力勢(shì)能為零，一個(gè)質(zhì)量為m₀的質(zhì)點(diǎn)距離質(zhì)量為M₀的引力源中心為r₀時(shí)，其引力勢(shì)能E_P=-$\frac{G{M}_{0}{m}_{0}}{{r}_{0}}$（式中G為引力常數(shù)），如圖所示，一顆質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星在離地面高度為h的圓形軌道環(huán)繞地球飛行，已知地球的質(zhì)量為M，地球的半徑為R，以無(wú)窮遠(yuǎn)處引力勢(shì)能為零，求：
（1）該衛(wèi)星在距地面高度為h的圓軌道上繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)衛(wèi)星的周期為多少；
（2）該衛(wèi)星在距地面高度為h的圓軌道上繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)衛(wèi)星的動(dòng)能為多少；
（3）假定該衛(wèi)星要想掙脫地球引力的束縛，衛(wèi)星發(fā)動(dòng)機(jī)至少要做多少功．

Answer 1

分析 （1）由萬(wàn)有引力提供向心力，然后結(jié)合牛頓第二定律即可求出衛(wèi)星的周期；
（2）由萬(wàn)有引力提供向心力，然后結(jié)合牛頓第二定律即可求出衛(wèi)星的動(dòng)能；
（3）衛(wèi)星發(fā)動(dòng)機(jī)做的功，至少要使衛(wèi)星脫離地球的重力勢(shì)能的影響．

解答 解：（1）質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星在離地面高度為h的圓形軌道環(huán)繞地球飛行，萬(wàn)有引力提供向心力，得：
$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=\frac{m4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$
所以衛(wèi)星的周期：T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{GM}}$
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，得：
$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{R+h}$
衛(wèi)星的動(dòng)能：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{GMm}{2（R+h）}$
（3）根據(jù)引力勢(shì)能的表達(dá)式：E_P=-$\frac{G{M}_{0}{m}_{0}}{{r}_{0}}$
地球表面的衛(wèi)星的重力勢(shì)能：${E}_{1}=-\frac{GMm}{R}$
以無(wú)窮遠(yuǎn)處引力勢(shì)能為零，衛(wèi)星發(fā)動(dòng)機(jī)做的功，至少要使衛(wèi)星脫離地球的影響，到達(dá)重力勢(shì)能的地方．所以發(fā)動(dòng)機(jī)做功的最小值：
W=$△{E}_{P}=0-{E}_{1}=\frac{GMm}{R}$
答：（1）該衛(wèi)星在距地面高度為h的圓軌道上繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)衛(wèi)星的周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{GM}}$；
（2）該衛(wèi)星在距地面高度為h的圓軌道上繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)衛(wèi)星的動(dòng)能為$\frac{GMm}{2（R+h）}$；
（3）假定該衛(wèi)星要想掙脫地球引力的束縛，衛(wèi)星發(fā)動(dòng)機(jī)至少要做功$\frac{GMm}{R}$．

點(diǎn)評(píng) 該題屬于信息給予的題目，解答的關(guān)鍵就是要根據(jù)題干中提供的信息，判斷出衛(wèi)星能夠脫離地球的引力的條件．