Question

16．在直角坐標(biāo)系xoy中，有一半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B、方向垂直于xoy平面且指向紙面外，該區(qū)域的圓心坐標(biāo)為（0，R），P₁，P₂分別為加速電場(chǎng)的正負(fù)兩極板，P₁中央有一小孔，兩極板都平行于x軸且正對(duì)放置，如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的負(fù)離子，由靜止經(jīng)電場(chǎng)加速后從點(diǎn)（$\frac{R}{2}$，0）沿y軸正方向射入第1象限，不計(jì)重力的影響．
（1）若離子射入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)與射出磁場(chǎng)的出射點(diǎn)在該圓形磁場(chǎng)的同一直徑上，求離子在該磁場(chǎng)區(qū)域經(jīng)歷的時(shí)間t₁和加速電場(chǎng)的加速電壓U₁．
（2）若離子在磁場(chǎng)區(qū)域經(jīng)歷的時(shí)間t₂=$\frac{πm}{2Bq}$，求加速電場(chǎng)的加速電壓U₂．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑和轉(zhuǎn)過的圓心角，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求得速度，再根據(jù)動(dòng)能定理即可求確定加速電壓U₁，根據(jù)圓心角算出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）離子在磁場(chǎng)區(qū)域經(jīng)歷的時(shí)間t₂=$\frac{πm}{2Bq}$=$\frac{1}{4}T$，作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，根據(jù)向心力公式以及動(dòng)能定理即可求解加速電壓．

解答 解：（1）根據(jù)題意作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示，
其中O點(diǎn)為圓心，根據(jù)幾何關(guān)系可知，AC=R，A到y(tǒng)軸的距離為$\frac{R}{2}$，則∠CAO=60°，
所以θ=30°，則圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=2R，
根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：
$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\frac{2BqR}{m}$，
離子在加速電場(chǎng)的加速的過程，根據(jù)動(dòng)能定理得：
${U}_{1}q=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：${U}_{1}=\frac{2{B}^{2}q{R}^{2}}{m}$
圓心角為60°，
離子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期T=$\frac{2πm}{Bq}$，則離子在該磁場(chǎng)區(qū)域經(jīng)歷的時(shí)間t₁=$\frac{60°}{360°}•\frac{2πm}{Bq}=\frac{πm}{3Bq}$，
（2）離子在磁場(chǎng)區(qū)域經(jīng)歷的時(shí)間t₂=$\frac{πm}{2Bq}$=$\frac{1}{4}T$，
所以離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)了$\frac{1}{4}$個(gè)圓，軌跡如圖所示：

根據(jù)幾何關(guān)系可知，半徑r$′=\frac{\sqrt{3}+1}{2}R$，
則根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：
$Bqv′=m\frac{{v′}^{2}}{r′}$
解得：v′=$\frac{Bq（\sqrt{3}+1）R}{2m}$，
離子在加速電場(chǎng)的加速的過程，根據(jù)動(dòng)能定理得：
${U}_{2}q=\frac{1}{2}m{v′}^{2}$
解得：${U}_{2}=\frac{{B}^{2}q{（\sqrt{3}+1）^{2}R}^{2}}{8m}$
答：（1）離子在該磁場(chǎng)區(qū)域經(jīng)歷的時(shí)間t₁為$\frac{πm}{3Bq}$，加速電場(chǎng)的加速電壓U₁為$\frac{2{B}^{2}q{R}^{2}}{m}$；
（2）若離子在磁場(chǎng)區(qū)域經(jīng)歷的時(shí)間t₂=$\frac{πm}{2Bq}$，則加速電場(chǎng)的加速電壓U₂為$\frac{{B}^{2}q{{（\sqrt{3}+1）}^{2}R}^{2}}{8m}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了帶電離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，解題的關(guān)鍵是會(huì)根據(jù)題意畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，會(huì)定圓心、找半徑，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)求相關(guān)量，在電場(chǎng)中粒子做勻加速運(yùn)動(dòng)，能結(jié)合動(dòng)能定理求解，難度較大．