Question

7．如圖所示，在xOy平面內(nèi)，一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子（重力不計）以速度v₀從坐標原點O沿與+x方向成θ角射入第一象限，并從x軸上x₁=a的A點離開第一象限區(qū)，速度方向與+x方向也成θ角．
（1）若在xOy平面存在一電場，帶電粒子在電場力作用下沿圓弧勻速率從O點運動到A點，θ=30°，求O點電場強度的大小E和粒子從O點運動到A點的時間t．
（2）若只有第一象限內(nèi)存在一垂直于xOy平面的圓形勻強磁場區(qū)，且θ=45°，求磁場的磁感應(yīng)強度的最小值B₀．
（3）若只存在一垂直于xOy平面的圓形勻強磁場區(qū)，磁場的磁感應(yīng)強度B是可以調(diào)節(jié)的，且滿足0≤B≤B_m，θ=30°，求圓形磁場區(qū)的最小半徑r₀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系可知帶電粒子運動的軌跡的長度，再根據(jù)粒子勻速運動可以求得粒子的運動的時間的大��；
（2）磁場磁感應(yīng)強度越小，粒子回旋半徑越大，則磁場區(qū)半徑越大，當磁場區(qū)圓邊界與xy軸相切，磁場磁感應(yīng)強度最小；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系可知帶電粒子在磁場中的半徑，由洛倫茲力作為向心力可以求得粒子的運動的半徑的大�。�

解答 解：（1）粒子運動軌跡如圖所示：
由幾何關(guān)系可知，帶電粒子運動的半徑：r₁=x₁=a，
粒子在電場中偏轉(zhuǎn)2θ=$\frac{π}{3}$，
由牛頓第二定律和運動學公式有，
qE=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$，t=$\frac{2θr}{{v}_{0}}$，解得 E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qa}$，t=$\frac{aπ}{3{v}_{0}}$；
（2）如圖所示，圓形磁場區(qū)只限于第一象限內(nèi)，磁場磁感應(yīng)強度越小，粒子回旋半徑越大，則磁場區(qū)半徑越大．
當磁場區(qū)圓邊界與xy軸相切，磁場磁感應(yīng)強度最小，設(shè)對應(yīng)的運動半徑為r₃，則：r₃=$\frac{a}{2}$，
qv₀B₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{3}}$，
解得：B₀=$\frac{2m{v}_{0}}{qa}$；
（3）如圖所示，設(shè)圓周運動的最小半徑為r₂，則有：
qv₀B_m=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{2}}$，r₀=$\frac{{r}_{2}}{2}$，
解得：r₀=$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{m}}$；
答：（1）O點電場強度的大小E為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qa}$，粒子從O點運動到A點的時間t為$\frac{aπ}{3{v}_{0}}$．
（2）磁場的磁感應(yīng)強度的最小值B₀為$\frac{2m{v}_{0}}{qa}$．
（3）圓形磁場區(qū)的最小半徑r₀為$\frac{m{v}_{0}}{2q{B}_{m}}$．

點評 本題考查帶電粒子在勻強磁場中的運動，分析清楚粒子運動過程、作出粒子運動軌跡是解題的關(guān)鍵；要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運動軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．