Question

（2007?徐州一模）如圖所示，傾角θ=37゜的傳送帶AB長L=20m，以v=5m/s速度沿順時針方向勻速轉(zhuǎn)動．質(zhì)量M=lkg的木塊由AB的中點c從靜止開始下滑，0.5s后被一顆質(zhì)量 m=20g的子彈以速度v₀=500m/s沿傳送帶向上正對射入，子彈穿出時的速度u=200m/s．以后每隔1.5s就有一顆質(zhì)量和速度相同的子彈射人木塊．設(shè)子彈射穿木塊的時間極短，且每次射人時木塊對子彈的阻力相同．已知木塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.25，sin37゜=0.60，cos37゜=O．80，g取lOm/s²．求：
（1）在被第二顆子彈擊中前．木塊離傳送帶下端A點的最大距離；
（2）木塊在傳送帶上最多能被多少顆子彈擊中；
（3）在木塊從c點開始運(yùn)動到最終離開傳送帶的過程中，子彈、木塊和傳送帶這一系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能．

Answer 1

分析：（1）對滑塊受力分析，受重力、支持力和摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律求解出下滑的加速度，根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式求解出0.5s時刻的速度和位移；第一顆子彈射出木塊過程，子彈與木塊系統(tǒng)的內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，系統(tǒng)動量守恒；此后做勻減速直線運(yùn)動到達(dá)最高點；
（2）通過計算找出重復(fù)過程：每次下滑0.5m后再上滑2m；
（3）產(chǎn)生的內(nèi)能分為子彈射出木塊過程的內(nèi)能和木塊與傳送帶摩擦的內(nèi)能，分別根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式和功能關(guān)系列式求解出各段過程的內(nèi)能后求和．

解答：解：（1）木塊沿斜面向下加速滑動，設(shè)木塊下滑時加速度為a₁．
由牛頓第二定律，有：a1=

Mgsin37°-μMgcos37°

M

=g(sin37°-μcos37°)=4m/s2；
設(shè)木塊下滑0.5s時速度為v₁，則v₁=a₁t₁=4×0.5=2m/s；
木塊下滑的距離S₁=

1

2

a1

t

2 1

=0.5m；
設(shè)子彈打擊木塊后，木塊速度v₂，打擊時，由動量守恒定律，有：mu-Mv₁=mu′+Mv₂，得
v2=

m(u-u′)-Mv1

M

=4m/s；
木塊上滑時加速度為a₂，由于木塊速度小于傳送帶的速度，所以摩擦力的方向沿斜面向上，所以加速度a₂=a_l=4m/s²
術(shù)塊上滑的最遠(yuǎn)距離：
S2=

v 2 2

2a2

=2m
在被第二顆子彈擊中前，木塊沿斜面向上運(yùn)動離A點的最大距離：
d=

1

2

L-S1+S2=11.5m
（2）木塊上滑的時間
t₂=

v2

a2

=1s
因為子彈射入木塊的時間間隔△t=1.5s，所以木塊上滑2．Om后再下滑，0.5s后子彈又射入木塊，以后的運(yùn)動重復(fù)：每次木塊上滑2．Om后再下滑O.5m．每次子彈打擊后，木塊上升1.5m，第6顆子彈穿射木塊后，木塊共上滑9m，此后距離上端還有1.5m．第7顆子彈射穿木塊后，木塊沿斜面上滑最后離開斜面，所以木塊在斜面上最多能被7顆子彈擊中．  
（3）每次子彈穿射木塊，產(chǎn)生的內(nèi)能相同，
E₁=

1

2

M

v

2 1

+

1

2

mu2-

1

2

M

v

2 2

-

1

2

mu′2=2094J；
每次木塊下滑0.5m，傳送帶上升的距離S₁′=vt₁=2.5m
產(chǎn)生的內(nèi)能E₂=μMgcos37°?（S₁+S₁′）=6J
每次木塊上滑2．Om，傳送帶上升的距離S₂′=vt₂=5m
產(chǎn)的內(nèi)能E₃=μMg（S₂′-S₂）=6J
第7子彈射穿木塊后，術(shù)塊沿斜面只能上滑S₃=1.5m
設(shè)木塊上滑的時間為t₃，根據(jù)位移時間關(guān)系公式，有：S₃=v₂t₃-

1

2

a2

t

2 3

解得t₃=0.5s和l.5s（l.5s舍去，因為滑塊不可能返回）
傳送帶上升的距離S₃′=vt₃=2.5m
此過程產(chǎn)生的內(nèi)能為：E₄=μMg（S₃′-S₃）=2J
故產(chǎn)生的總的內(nèi)能：E=7E₁+7E₂+6E₃+E₄=7×2094J+7×6J+6×6J+2J=14738J
答：（1）在被第二顆子彈擊中前．木塊離傳送帶下端A點的最大距離為11.5m；
（2）木塊在傳送帶上最多能被7顆子彈擊中；
（3）在木塊從c點開始運(yùn)動到最終離開傳送帶的過程中，子彈、木塊和傳送帶這一系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能為14738J．

點評：解決本題的關(guān)鍵理清木塊的運(yùn)動過程，結(jié)合牛頓第二定律、動量守恒定律、運(yùn)動學(xué)公式和功能關(guān)系進(jìn)行求解，較難．