Question

9．如圖，半徑R=0.5m的光滑圓弧軌道ABC與足夠長(zhǎng)的粗糙傾斜直軌道CD在C處平滑連接，O為圓弧軌道ABC的圓心，B點(diǎn)為圓弧軌道的最低點(diǎn)，半徑OA、OC與OB的夾角分別為53°和37°．將一個(gè)質(zhì)量m=0.5kg的物體（視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)左側(cè)上方高為h=0.8m處的P點(diǎn)水平拋出，恰從A點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入圓弧軌道．已知物體與軌道CD間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.7，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）物體水平拋出時(shí)的初速度大小v₀；
（2）物體經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧軌道的最大壓力大小F_N；
（3）物體在軌道CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開(kāi)C點(diǎn)的最大距離x及在CD軌道上的運(yùn)動(dòng)總路程s．

Answer 1

分析 （1）物體做平拋運(yùn)動(dòng)，由自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出物體落在A時(shí)的豎直分速度，然后應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解求出物體的初速度大小v₀．
（2）通過(guò)計(jì)算分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，由能量守恒定律求出物體在B點(diǎn)的速度，然后又牛頓第二定律求出物體對(duì)圓弧軌道壓力大小F_N；
（3）先由機(jī)械能守恒求出物體在C點(diǎn)的速度，然后由動(dòng)能定理即可求解離開(kāi)C點(diǎn)的最大距離x及在CD軌道上的運(yùn)動(dòng)總路程s．

解答 解：（1）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律知：
豎直分速度：$v_y^2=2gh$${v_y}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.8}=4m/s$
初速度：${v_0}={v_y}tan{37^0}$=4×0.75m/s=3m/s
（2）對(duì)對(duì)物體，從P至B點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理可有：$\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_0^2=mg（h+R-Rcos{53^0}）$
經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律可有：$F_N^/-mg=m\frac{v_B^2}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：$F_N^/=mg+m\frac{v_B^2}{R}=34N$
（3）因μmgcos37°＜mgsin37°，
物體沿軌道CD向上作勻減速運(yùn)動(dòng)，速度減為零后又沿CD軌道下滑
從B到上滑至最高點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理有：-mgR（1-cos37°）-（mgsin37°+μmgcos37°）x=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)可解得：$x=\frac{135}{116}≈1.2m$
在軌道CD上運(yùn)動(dòng)通過(guò)的路程x約為1.2m             
從B到上滑至最高點(diǎn)再回到B點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理有：$\frac{1}{2}mv_{Bt}^2-\frac{1}{2}mv_B^2=-μmg2xcos{37^0}$$v_{Bt}^2=3{（m/s）^2}$
又因?yàn)椋?mgR（1-cos{37^0}）＜\frac{1}{2}mv_{Bt}^2=0.732＜mgR（1-cos{53^0}）$
故物體不會(huì)從A點(diǎn)滑出軌道，但會(huì)第二次滑上CD軌道．         
從B到滑至C點(diǎn)速度為零的過(guò)程，由動(dòng)能定理有$0-\frac{1}{2}mv_B^2=-mgR（1-cos{37^0}）-μmgscos{37^0}$
代入數(shù)據(jù)解得：$s=\frac{135}{56}≈2.4m$
答：（1）物體水平拋出時(shí)的初速度大小3m/s；
（2）物體經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧軌道的最大壓力大小34N；
（3）物體在軌道CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開(kāi)C點(diǎn)的最大距離1.2m，在CD軌道上的運(yùn)動(dòng)總路程2.4m．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)情況，然后根據(jù)動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)、能量守恒定理解題，本題用的知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大．