Question

1．如圖所示，豎直放置的平行金屬板A、B間電壓為U₀，在B板右側(cè)CDMN矩形區(qū)域存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，DM邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，CD邊長(zhǎng)為$\frac{3}{4}$L，緊靠電場(chǎng)右邊界存在垂直紙面水平向里的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)左右邊界為同心圓，圓心O在CDMN矩形區(qū)域的幾何中心，磁場(chǎng)左邊界剛好過(guò)M、N兩點(diǎn)．質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子，從A板由靜止開始經(jīng)A、B極板間電場(chǎng)加速后，從邊界CD中點(diǎn)水平向右進(jìn)入矩形區(qū)域的勻強(qiáng)電場(chǎng)，飛出電場(chǎng)后進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)．當(dāng)矩形區(qū)域中的場(chǎng)強(qiáng)取某一值時(shí)，粒子從M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從N點(diǎn)返回電場(chǎng)區(qū)域，且粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡恰與磁場(chǎng)右邊界相切，粒子的重力忽略不計(jì)，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求粒子離開B板時(shí)的速度v₁；
（2）求磁場(chǎng)右邊界圓周的半徑R；
（3）將磁感應(yīng)強(qiáng)度大小和矩形區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)大小改變?yōu)檫m當(dāng)值時(shí)，粒子從MN間飛入磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)返回電場(chǎng)前，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間有最大值，求此最長(zhǎng)時(shí)間t_m．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子離開B板的速度可以由動(dòng)能定理求得．
（2）由題意畫出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，由類平拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律知道粒子速度的方向恰恰從板的中點(diǎn)射出，從而已知粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度方向，由幾何關(guān)系關(guān)系就能求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，從而求出磁場(chǎng)右邊界的半徑．
（3）粒子從不同點(diǎn)離開電場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡與右邊界相切時(shí)弧長(zhǎng)最長(zhǎng)，且當(dāng)矩形區(qū)域場(chǎng)強(qiáng)為零時(shí)，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度最小，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，確定偏轉(zhuǎn)角，從而求出最短時(shí)間．

解答 解：（1）粒子從A到B的加速過(guò)程中，由動(dòng)能定理有：
   $q{U}_{0}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
  解得  ${v}_{1}=\sqrt{\frac{2{U}_{0}q}{m}}$
（2）如圖所示，粒子剛好沿著磁場(chǎng)右邊界到達(dá)N點(diǎn)
  圖中 $tanθ=\frac{\frac{1}{2}×\frac{3}{4}L}{\frac{1}{2}L}=\frac{3}{4}$，θ=37°     
  帶點(diǎn)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半
  $r=\sqrt{（\frac{3}{8}L）^{2}+（\frac{L}{2}）^{2}}tanθ=\frac{15}{32}L$
  則磁場(chǎng)區(qū)域的半徑：$R=\frac{r}{sin37°}+r=\frac{5}{4}L$  
（3）粒子從同一點(diǎn)離開電場(chǎng)時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡與右邊界相切時(shí)弧長(zhǎng)最長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間也最長(zhǎng)
  粒子從不同點(diǎn)離開電場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡與右邊界相切時(shí)弧長(zhǎng)最長(zhǎng)，且當(dāng)矩形區(qū)域場(chǎng)強(qiáng)為零時(shí)，
  粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度最小，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，則
  畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，由幾何關(guān)系知道粒子偏轉(zhuǎn)360°-2×（90°-37°）=254°，則最長(zhǎng)時(shí)間：
  ${t}_{m}=\frac{254°}{360°}×\frac{2πr}{{v}_{1}}$
  解得  ${t}_{m}=\frac{127πL}{384}\sqrt{\frac{2m}{q{U}_{0}}}$
答：（1）求粒子離開B板時(shí)的速度v₁為$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$．
（2）求磁場(chǎng)右邊界圓周的半徑R為$\frac{5}{4}L$．
（3）將磁感應(yīng)強(qiáng)度大小和矩形區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)大小改變?yōu)檫m當(dāng)值時(shí)，粒子從MN間飛入磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)偏
  轉(zhuǎn)返回電場(chǎng)前，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間有最大值，求此最長(zhǎng)時(shí)間t_m為$\frac{127}{384}\sqrt{\frac{2m}{q{U}_{0}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的靚點(diǎn)在于：①磁場(chǎng)是下個(gè)環(huán)狀區(qū)域，這樣加上勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡就涉及三個(gè)圓的知識(shí)；②第二問(wèn)求恰恰從極板的下邊緣穿出，軌跡又要跟磁場(chǎng)的右邊緣相切，涉及到圓、直角三角形及三函數(shù)等的相關(guān)知識(shí)．至于第三問(wèn)涉及的最長(zhǎng)時(shí)間情形更復(fù)雜，要畫好軌跡圖，不能有偏差．