Question

（2011?揭陽模擬）如圖所示，A、B為一對平行板，板長為l，兩板距離為d，板間區(qū)域內充滿著勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里，一個質量為m，帶電量為+q的帶電粒子自靜止開始經(jīng)M、N兩平行金屬板間的電場加速后，從A、B兩板的中間沿垂直于磁感線的方向射入磁場．（不計粒子的重力）求：
（1）若粒子被加速后進入磁場的速度為v₀，則它在磁場中做圓周運動的半徑和周期各為多少？
（2）MN兩極板間的電壓U應在什么范圍內，粒子才能從磁場內射出？

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場中做圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出半徑，由圓周運動的周期公式求解周期．
（2）當粒子從平行板左邊射出時，最大半徑為r₁=

d

4

，粒子從左邊射出必須滿足r≤r₁．當粒子恰好從平行板右邊射出時，由幾何知識半徑r₂，即為粒子從右邊射出時運動軌跡最小半徑．由半徑公式和動能定理求解電壓的范圍．

解答：解：
（1）粒子在磁場做圓周運動的向心力由洛倫茲力提供，則有：
          qv₀B=m

v 2 0

r

 
     解得：r=

mv0

qB

     周期T=

2πr

v0

=

2πm

qB

．
（2）帶電粒子在MN兩極板間的加速過程由動能定理得：
     qU=

1

2

m

v

2 0

如圖所示，當粒子從左邊射出時，若運動軌跡半徑最大，其圓心為圖中O₁點，半徑r₁=

d

4

．因此粒子從左邊射出必須滿足r≤r₁
 聯(lián)立解得：U≤

B2d2q

32m

．
當粒子從右邊射出時，若運動軌跡半徑最小，則其圓心為圖中O₂點，設半徑為r₂．
由幾何關系可得：

r

2 2

=(r2-

d

2

)2+l2
   解得  r2=

d

4

+

l2

d

因此粒子從右邊射出必須滿足的條件是：r≥r₂
聯(lián)立解得：U≥

(d2+4l2)2B2q

32d2m

答：
（1）粒子在磁場中做圓周運動的半徑為=

mv0

qB

，周期為

2πm

qB

；
（2）MN兩極板間的電壓U應在什么范圍內，粒子才能從磁場內射出當U≤

B2d2q

32m

或U≥

(d2+4l2)2B2q

32d2m

時，粒子可以從磁場內射出．

點評：本題關鍵應用幾何知識兩種臨界情況情況下，粒子圓周運動的半徑，這是粒子在磁場中勻速圓周運動問題常用的方法．