Question

10．2015年7月24日，天文學(xué)家確認(rèn)發(fā)現(xiàn)首顆位于“宜居帶”上體積最接近地球大小的行星（代號為“開普勒-452b”），這是人類在尋找另一顆地球的道路上的重要里程碑．設(shè)想某一天，宇航員登上該星球并做如下實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)裝置如圖甲所示，豎直平面內(nèi)的光滑軌道由傾斜軌道AB和半圓弧軌道BC組成，將質(zhì)量為m₀=0.2kg的小球，從軌道AB上高H處的某點(diǎn)靜止釋放，用力傳感器測出小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力F，改變高度H的大小，可測出相應(yīng)的F大小，F(xiàn)隨H的變化關(guān)系如圖乙所示，萬有引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²．求：（計(jì)算結(jié)果均保留3位有效數(shù)字）

（1）假設(shè)該行星的半徑R=5000km，求行星的質(zhì)量M；
（2）在（1）問前提下，若已知質(zhì)量為m的飛船距離該行星中心距離為r處的引力勢能表達(dá)式為E_p=-$\frac{GMm}{r}$，將質(zhì)量為m=2000kg的飛船，在該行星上發(fā)射到距離行星表面的高度h=5000km的圓軌道上，火箭至少要對飛船做多少功？（為簡化計(jì)算不考慮行星自轉(zhuǎn)對發(fā)射的影響）

Answer 1

分析 （1）小球從A到C運(yùn)動(dòng)的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律求出小球?qū)�軌道C點(diǎn)的壓力與H的關(guān)系式，然后結(jié)合F-H圖線求該行星表面的重力加速度．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力求出在圓軌道上的動(dòng)能，結(jié)合初末狀態(tài)的機(jī)械能大小，通過功能關(guān)系求出火箭至少要對飛船做功的大�。�

解答 解：（1）設(shè)小球質(zhì)量為m，小球過C點(diǎn)有：$F+{m}_{C}g={m}_{C}\frac{{v}^{2}}{r}$，
對小球從出發(fā)到C點(diǎn)，由動(dòng)能定理得，${m}_{C}g（H-2r）=\frac{1}{2}{m}_{C}{v}^{2}$，
聯(lián)立解得F=$\frac{2{m}_{C}g}{r}H-5{m}_{C}g$，
由圖可知，H₁=0.5m，F(xiàn)₁=0N，H₂=1.0m，F(xiàn)₂=5N，
解得g=5m/s²．
根據(jù)$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$得，行星的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
代入數(shù)據(jù)解得M=1.87×10²⁴kg．
（2）由題意可知，由于不考慮自轉(zhuǎn)，衛(wèi)星在該行星表面的機(jī)械能為：${E}_{1}=-\frac{GMm}{R}$，
在h=R圓軌道上衛(wèi)星的機(jī)械能：${E}_{2}=-\frac{GMm}{2R}+\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
根據(jù)萬有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{（2R）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{2R}$，
可得$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{GMm}{4R}$，
${E}_{2}=-\frac{GMm}{2R}+\frac{1}{2}m{v}^{2}=-\frac{GMm}{4R}$，
由功能關(guān)系可得，$W={E}_{2}-{E}_{1}=-\frac{GMm}{4R}-（-\frac{GMm}{R}）$=$\frac{3GMm}{4R}$．
代入數(shù)據(jù)解得W=3.75×10¹⁰J．
答：（1）行星的質(zhì)量為1.87×10²⁴kg．
（2）火箭至少要對飛船做功3.75×10¹⁰J．

點(diǎn)評 本題是牛頓運(yùn)動(dòng)定律與機(jī)械能守恒定律的綜合題，解決本題的關(guān)鍵根據(jù)該規(guī)律得出壓力F與H的關(guān)系式．以及掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論，并能靈活運(yùn)用．