Question

11．宇航員在地球表面以一初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時(shí)間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時(shí)間5t小球落回原處，取地球表面重力加速度g=10m/s²，空氣阻力不計(jì)
（1）求該星球表面附近的重力加速度g′．
（2）已知該星球的半徑與地球半徑之比$\frac{{R}_{星}}{{R}_{地}}$=$\frac{1}{4}$，求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比．

Answer 1

分析 （1）豎直上拋運(yùn)動返回地面時(shí)的速度和拋出時(shí)的速度大小相等，方向相反，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律得出加速度之比，從而得出星球表面的重力加速度．
（2）根據(jù)萬有引力等于重力求出星球的質(zhì)量M_星與地球質(zhì)量M_地之比．

解答 解：（1）設(shè)豎直上拋小球初速度為v，落回原處時(shí)的速度大小為v′，星球表面重力加速度為g′，根據(jù)題意知返回地面的速度與拋出時(shí)的速度大小相等，方向相反．
地球表面$t=\frac{-{v}^{′}-v}{-g}$
星球表面$5t=\frac{-{v}^{′}-v}{-{g}^{′}}$
聯(lián)解各式得：g'=2m/s²
（2）小球在地球或星球表面附近受到的萬有引力等于小球重力，得：
星球表面附近：$m{g}^{′}=G\frac{{M}_{星}m}{{r}^{2}}$
地球表面附近：$mg=G\frac{{M}_{地}m}{{R}^{2}}$
由題得：$\frac{r}{R}=\frac{1}{4}$
聯(lián)立各式解得：$\frac{{M}_{星}}{{M}_{地}}=\frac{1}{80}$．
答：（1）該星球表面附近的重力加速度g′=2m/s²
（2）星球的質(zhì)量M_星與地球質(zhì)量M_地之比1：80．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握在天體的表面萬有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，會根據(jù)重力加速度之比球天體質(zhì)量之比．