Question

14．如圖所示，A、B、C三點(diǎn)在同一個(gè)豎直平面內(nèi)，且在同一直線上，一小球若以初速度v₁從A點(diǎn)水平拋出，恰好能通過(guò)B點(diǎn)，從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所用時(shí)間為t₁，到B點(diǎn)時(shí)速度與水平方向的夾角為θ₁，落地時(shí)的水平位移為x₁；若以初速度v₂從A點(diǎn)水平拋出，恰好能通過(guò)C點(diǎn)，從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)速度與水平方向的夾角為θ₂，落地時(shí)的水平距離為x₂．已知AB的水平距離是BC水平距離的2倍，則（　　）

• A． v₁：v₂=2：3
• B． t₁：t₂=$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$
• C． tanθ₁：tanθ₂=2：3
• D． x₁：x₂=$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 平拋運(yùn)動(dòng)落在ABC的連線上時(shí)，豎直方向的位移和水平方向上位移比值一定，根據(jù)該規(guī)律求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而求出落在ABC的連線上時(shí)，速度與水平方向的夾角相等；由此分析即可．

解答 解：由于A、B、C三點(diǎn)在同一個(gè)豎直平面內(nèi)，且在同一直線上，所以豎直方向的位移和水平方向上位移比值一定；設(shè)ABC的連線與水平方向之間的夾角為θ，則：
tanθ=$\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$   ①
解得：t=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$．  ②
則落在ABC的連線上時(shí)豎直方向上的分速度v_y=gt=2v₀tanθ．
設(shè)速度與水平方向的夾角為α，有$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=2tanθ$   ③
知小球到達(dá)ABC的連線上時(shí)，速度與水平方向的夾角與初速度無(wú)關(guān)，則小球與水平方向的夾角相同．
A、由幾何關(guān)系可知，AB自己的水平距離與AC之間的水平距離之比為2：3；所以小球到達(dá)B點(diǎn)與C點(diǎn)時(shí)，豎直方向?yàn)槲灰浦�比為�?\frac{{y}_}{{y}_{c}}=\frac{2}{3}$   ④
由y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$  ⑤
聯(lián)立②⑤得：$y=\frac{2{v}_{0}^{2}ta{n}^{2}θ}{g}$
所以：$\frac{{y}_}{{y}_{c}}=\frac{{v}_{1}^{2}}{{v}_{2}^{2}}$  ⑥
聯(lián)立④⑥可得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$    ⑦．故A錯(cuò)誤；
B、聯(lián)立②⑦得：$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}=\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$．故B正確；
C、由公式③知，小球到達(dá)ABC的連線上的B點(diǎn)與C點(diǎn)時(shí)，速度與水平方向的夾角與初速度無(wú)關(guān)，則小球與水平方向的夾角相同，所以tanθ₁：tanθ₂=1：1．故C錯(cuò)誤；
D、兩個(gè)小球在豎直方向都做自由落體運(yùn)動(dòng)，所以運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是相等的，水平方向的位移：x=v₀t   ⑧
聯(lián)立⑦⑧可得：$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$．故D正確．
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)．同時(shí)在解答的過(guò)程中要注意使用題目中的條件“A、B、C三點(diǎn)在同一個(gè)豎直平面內(nèi)，且在同一直線上”．