Question

17．如圖所示，兩根相同的輕質(zhì)彈簧，中間與質(zhì)量為m的圓環(huán)相連于O位置，另一端各自固定在同一水平線上的P、Q兩點，彈簧恰好處于原長L，圓環(huán)套在粗糙的豎直細(xì)桿上，細(xì)桿上的A、B兩點關(guān)于O點對稱，OA=H．現(xiàn)將圓環(huán)沿桿拉至A位置由靜止釋放，當(dāng)下滑到速度最大時，彈簧與細(xì)桿間的夾角為θ，整個過程中，彈簧處于彈性限度范圍內(nèi)．重力加速度為g．求：
（1）圓環(huán)過O點時的加速度；
（2）圓環(huán)過B點的瞬時速度；
（3）每根輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)．

Answer 1

分析 （1）到達O點時圓環(huán)只受重力作用，由牛頓第二定律可以求出加速度；
（2）由動能定理可以求出經(jīng)過B點的速度；
（3）當(dāng)圓環(huán)速度最大速度圓環(huán)所受合力為零，據(jù)此求出彈簧的彈力，然后應(yīng)用胡克定律求出彈簧的勁度系數(shù)．

解答 解：（1）物體下落到O點時只受重力作用，由牛頓第二定律得：
mg=ma，
解得：a=g；
（2）圓環(huán)從A到B過程中，彈簧彈力做功為零，圓環(huán)不受摩擦力作用，只有重力做功，由動能定理得：
mg•2H=$\frac{1}{2}$mv²-0，
解得：v=2$\sqrt{gH}$；
（3）下落過程中，當(dāng)環(huán)所受合力為零時速度最大，此時有：
2F_彈cosθ=mg，F(xiàn)_彈=$\frac{mg}{2cosθ}$，
彈簧的伸長量為：△x=$\frac{L}{sinθ}$-L，
由胡克定律得：F_彈=k△x，
解得：k=$\frac{mgtanθ}{2L（1-sinθ）}$；
答：（1）圓環(huán)過O點時的加速度為g；
（2）圓環(huán)過B點的瞬時速度為2$\sqrt{gH}$；
（3）每根輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)為$\frac{mgtanθ}{2L（1-sinθ）}$．

點評 本題考查了求加速度、速度與彈簧勁度系數(shù)問題，分析清楚圓環(huán)的運動過程是解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律、動能定理與胡克定律可以解題，本題難度不大，是一道基礎(chǔ)題．