Question

8．發(fā)射宇宙飛船的過(guò)程要克服引力做功，已知將質(zhì)量為m的飛船在距地球中心無(wú)限遠(yuǎn)處移到距地球中心為r處的過(guò)程中，引力做功為W=$\frac{GMm}{r}$，飛船在距地球中心為r處的引力勢(shì)能公式為E_p=$\frac{GMm}{r}$，式中G為引力常量，M為地球質(zhì)量．若在地球的表面發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星，如果發(fā)射的速度很大，此衛(wèi)星可以上升到離地心無(wú)窮遠(yuǎn)處（即地球引力作用范圍之外），這個(gè)速度稱為第二宇宙速度（也稱逃逸速度）．
（1）試推導(dǎo)逃逸速度的表達(dá)式．
（2）已知逃逸速度大于真空中光速的天體叫黑洞，設(shè)某黑洞的質(zhì)量等于太陽(yáng)的質(zhì)量M=1.98×10³⁰kg，求它的可能最大半徑？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由動(dòng)能定理列式即可推導(dǎo)出逃逸速度的表達(dá)式
（2）根據(jù)題意，黑洞表面脫離的速度應(yīng)大于光速，根據(jù)${v}_{2}^{\;}＞c$，即可求解

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理有，$-G\frac{Mm}{R}=0-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
解得，${v}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$（其中G、M、R分別表示萬(wàn)有引力常量、天體質(zhì)量和半徑）
（2）對(duì)于黑洞模型來(lái)說(shuō)，其逃逸速度大于真空中的光速，即${v}_{2}^{\;}＞c$
所以$R＜\frac{2GM}{{c}_{\;}^{2}}=\frac{2×6.67×1{0}_{\;}^{-11}×1.98×1{0}_{\;}^{30}}{（3×1{0}_{\;}^{8}）_{\;}^{2}}$=$2.94×1{0}_{\;}^{3}m$
答：（1）逃逸速度表達(dá)式推導(dǎo)如上
（2）黑洞可能的最大半徑$2.94×1{0}_{\;}^{3}m$

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬(wàn)有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式的直接應(yīng)用，要注意任何物體均不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應(yīng)大于光速．