Question

兩平行金屬板間所加電壓隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖所示，大量質(zhì)量為m、帶電量為e的電子由靜止開(kāi)始經(jīng)電壓為U₀的電場(chǎng)加速后連續(xù)不斷地沿兩平行金屬板間的中線(xiàn)射入，若兩板間距恰能使所有子都能通過(guò)．且兩極長(zhǎng)度使每個(gè)電子通過(guò)兩板均歷時(shí)3t₀，電子所受重力不計(jì)，試求：
（1）電子通過(guò)兩板時(shí)側(cè)向位移的最大值和最小值；
（2）側(cè)向位移最大和最小的電子通過(guò)兩板后的動(dòng)能之比．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)在不同時(shí)段的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，結(jié)合位移表達(dá)式，從而列出最大位移與最小位移關(guān)系式，即可求解；
（2）根據(jù)各自位移的不同，結(jié)合動(dòng)能定理，即可求解．

解答：解：（1）電子在t=2 nt₀（其中：n=0、1、2、…）時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，電子通過(guò)兩極的側(cè)向位移最大，
在t=（2n+l）t₀（其中n=0、l、2、…）時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)電子通過(guò)兩板側(cè)向位移最�。�
電子側(cè)向位移最大時(shí)，進(jìn)入電場(chǎng)在沿電場(chǎng)線(xiàn)方向上作初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，
再作勻速運(yùn)動(dòng)，后作初速度不為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，各段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間均為t₀；
當(dāng)電子側(cè)向位移最小時(shí)，在電場(chǎng)線(xiàn)上只有在第二個(gè)t₀的時(shí)間開(kāi)始作初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，
在第三個(gè)t₀的時(shí)間作勻速運(yùn)動(dòng)．電子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后，在電場(chǎng)中的加速度均為a=

eU0

md

，電子側(cè)向最大位移為
y_max=

1

2

at₀²+at₀²+at₀²+

1

2

at₀²=3at₀²=

3eU0 t 2 0

md

．  
解得：y_max=

d

2

由以上兩式解得y_max=t₀

6emU0

m

；
 d=2y_max=2t₀

6emU0

m

；
電子側(cè)向最小位移為y_min=at₀²/2+at₀²=

1

2

y_max=

1

2

t₀

6emU0

m

；
解得：y_min=

d

4

（2）電子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能等于加速電場(chǎng)和偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)電場(chǎng)力做功之和．
當(dāng)電子的側(cè)向位移為最大時(shí)，電子在電場(chǎng)中加速（只有加速，電場(chǎng)力才做功）．
運(yùn)動(dòng)的距離為y₁=

2

3

 y_max=

d

3

，電子的側(cè)向位移最小時(shí)，
電子在電場(chǎng)中加速運(yùn)動(dòng)的距離為y₂=

1

3

y_min=

d

12

，
側(cè)向位移最大的電子動(dòng)能為 E_kmax=eU_O+eU_O?

y1

d

=

4

3

eU_O，
側(cè)向位移最小的電子動(dòng)能為E_kmin=eU_O+eU_O?

y2

d

=

13

12

eU_O，
故E_kmax：E_kmin=16：13
答：（1）電子通過(guò)兩板時(shí)側(cè)向位移的最大值

d

2

和最小值

d

4

；
（2）側(cè)向位移最大和最小的電子通過(guò)兩板后的動(dòng)能之比16：13．

點(diǎn)評(píng)：考查由運(yùn)動(dòng)情況來(lái)運(yùn)用位移與時(shí)間關(guān)系式，并掌握動(dòng)能定理的應(yīng)用，搞清不同時(shí)段的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，這是解題的關(guān)鍵．