Question

17．如圖所示，兩個(gè)光滑的水平導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)．左側(cè)連接有阻值為R的電阻，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直穿過(guò)導(dǎo)軌平面，有一質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒以初速度v₀向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)除左邊的電阻R外．其它電阻不計(jì)．棒向右移動(dòng)最遠(yuǎn)的距離為s，問(wèn)當(dāng)棒運(yùn)動(dòng)到λs時(shí)0＜λ＜L，證明此時(shí)電阻R上的熱功率：P=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（1-λ）^{2}{v}_{0}^{2}}{R}$．

Answer 1

分析 導(dǎo)體棒向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到向左的安培力作用而減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和加速度的定義式，運(yùn)用積分法研究整個(gè)過(guò)程，再對(duì)棒運(yùn)動(dòng)λs時(shí)研究，求出電路中電流，從而得到R上的熱功率．

解答 證明：取向右為正方向．根據(jù)牛頓第二定律得：
-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=ma=m$\frac{△v}{△t}$…①
即得-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}$v△t=m△v…②
兩邊求和得：$\sum_{\;}^{\;}$（-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}$v△t）=$\sum_{\;}^{\;}$m△v…③
又v△t=△x ④
對(duì)整個(gè)過(guò)程，由③求和得-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}$s=m（0-v₀），
即有$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}$s=mv₀…⑤
從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到棒運(yùn)動(dòng)到λs的過(guò)程，由③求和得：-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}$λs=m（v-v₀）…⑥
由⑤⑥解得棒運(yùn)動(dòng)到λs速度為：v=（1-λ）v₀…⑦
此時(shí)電阻R上的熱功率為：P=$\frac{{E}^{2}}{R}$=$\frac{（BLv）^{2}}{R}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（1-λ）^{2}{v}_{0}^{2}}{R}$．
得證．

點(diǎn)評(píng) 本題棒做的是非勻減速運(yùn)動(dòng)，不能根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求其速度，而運(yùn)用積分法研究．