Question

（2012?無錫二模）如圖所示，間距為L(zhǎng)的兩條足夠長(zhǎng)的平行絕緣軌道與水平面的夾角為θ，兩軌道間有n個(gè)長(zhǎng)方形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d₁，區(qū)域與區(qū)域之間的距離為d₂，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向與導(dǎo)軌平面垂直．一長(zhǎng)L′（略大于L）、寬為l、質(zhì)量為m、電阻為R的長(zhǎng)方形導(dǎo)體線圈放在導(dǎo)軌上，線圈恰能保持靜止．現(xiàn)給線圈一個(gè)沿軌道平面向下的初速度，線圈恰好滑過n個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域后停止，線圈在運(yùn)動(dòng)過程中的長(zhǎng)邊始終與軌道垂直．空氣阻力和線圈導(dǎo)線的粗細(xì)不計(jì)，重力加速度為g，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，d₁=d₂=l．求：
（1）線圈全部進(jìn)入任意一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域的過程中，通過線圈的電荷量q；
（2）線圈從剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域1到最終停止的過程中，系統(tǒng)產(chǎn)生的總熱量Q；
（3）線圈剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域k（k＜n）時(shí)，線圈中的電功率P．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式q=

.

I

△t，求解通過線圈的電量q；
（2）線圈在任一時(shí)刻以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)均有一條長(zhǎng)邊在磁場(chǎng)中切割磁感線，線圈會(huì)受磁場(chǎng)的安培阻力F作用．由F=BIL，I=

BLv

R

，得到安培力表達(dá)式F=

B2L2v

R

，由牛頓第二定律得到
線圈減速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)加速度a=

B2L2v

mR

．設(shè)經(jīng)過極短的時(shí)間△t，速度減小△v，運(yùn)動(dòng)的位移△x，則△v=a△t=

B2L2v△t

mR

，再進(jìn)行求和，得到線圈開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的初速度，即可根據(jù)能量守恒求出系統(tǒng)產(chǎn)生的總熱量Q；
（3）根據(jù)上題的結(jié)果，求出線圈剛穿出磁場(chǎng)區(qū)域（k-1）時(shí)速度v_k-1，由P=

(BLvk-1)2

R

求線圈的電功率．

解答：解：（1）在線圈全部滑進(jìn)某一磁場(chǎng)區(qū)域的過程中所用時(shí)間為△t，線圈中的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

.

E

=

△Φ

△t

=

BLl

△t

平均電流

.

I

=

. E

R

則得通過線圈的電量為q=

.

I

△t=

BLl

R

．
（2）線圈在任一時(shí)刻以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)均有一條長(zhǎng)邊在磁場(chǎng)中切割磁感線，線圈會(huì)受磁場(chǎng)的安培阻力F作用．
則  F=BIL，I=

BLv

R

，得F=

B2L2v

R

線圈減速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)加速度a=

B2L2v

mR

經(jīng)過極短的時(shí)間△t，速度減小△v，運(yùn)動(dòng)的位移△x，則△v=a△t=

B2L2v△t

mR

又△x=v△t
則得△v=

B2L2

mR

△x
兩邊求和得：△v=

B2L2

mR

△x=

B2L2

mR

△x
即有：v₀=

B2L2

mR

?2nl，其中v₀是線圈開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的初速度．
整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所產(chǎn)生的總熱量Q=Q_電熱+Q_摩擦
由能量守恒可知，Q=

1

2

m

v

2 0

+mgsinθ?2nl
聯(lián)立解得  Q=

2B4L4n2l2

mR2

+mgsinθ?2nl
（3）線圈剛穿出磁場(chǎng)區(qū)域（k-1）時(shí)，速度為v_k-1，
  v₀-v_k-1=

B2L2

mR

?2（k-1）l
得v_k-1=

B2L2

mR

?2（n-k+1）l
線圈的電功率  P=

(BLvk-1)2

R

聯(lián)立解得，P=

B6L6

m2R3

?4（n-k+1）²l²
答：
（1）線圈全部進(jìn)入任意一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域的過程中，通過線圈的電荷量q是

BLl

R

；
（2）線圈從剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域1到最終停止的過程中，系統(tǒng)產(chǎn)生的總熱量Q是

2B4L4n2l2

mR2

+mgsinθ?2nl；
（3）線圈剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域k（k＜n）時(shí)，線圈中的電功率P是

B6L6

m2R3

?4（n-k+1）²l²．

點(diǎn)評(píng)：電磁感應(yīng)和能量關(guān)系運(yùn)動(dòng)是整個(gè)物理學(xué)的核心，在每年的壓軸題經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)．通常有多個(gè)問，一般第（1）小問不難，后面的幾問比較難，但不要放棄，要有分部得分意識(shí)，因此在復(fù)習(xí)中要培養(yǎng)學(xué)生分析物理問題的能力和分部得分意識(shí)．