Question

3．如圖所示，空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場．在豎直平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系的一個(gè)象限內(nèi)固定絕緣光滑的半徑為R的$\frac{1}{4}$圓周軌道AB，軌道的兩端在坐標(biāo)軸上．質(zhì)量為m的帶正電的小球從軌道的A端由靜止開始滾下，已知重力為電場力的2倍，求：
（1）小球到達(dá)軌道最低點(diǎn)B時(shí)的速度；
（2）小球在軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）小球脫離B點(diǎn)后再次運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的正下方時(shí)距B的豎直高度h．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的速度；（2）結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大小，再根據(jù)牛頓第三定律從而得知小球在B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力．（3）小球脫離B點(diǎn)后，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，在水平方向上做加速度不變的勻減速直線運(yùn)動(dòng)．抓住等時(shí)性求出小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)正下方的時(shí)間，以及距離B的最大高度．

解答 解：（1）設(shè)小球滾到B點(diǎn)速度為v，小球從釋放到運(yùn)動(dòng)至軌道最低點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理得：
mgR-qER=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ ①
又mg=2qE    ②
①②聯(lián)立解得：$v=\sqrt{gR}$③
（2）在軌道的最低點(diǎn)時(shí)根據(jù)牛頓第二定律得：F_N-mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$   ④
有牛頓第三定律得小球在軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力：F_N′=-F_N  ⑤
③④⑤聯(lián)立得，F(xiàn)_N′=2mg
方向豎直向下
（3）小球離開B點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，水平方向上往返運(yùn)動(dòng)．
由運(yùn)動(dòng)的分解可知，當(dāng)水平速度變?yōu)榱銜r(shí)，有：$v-\frac{1}{2}g{t}_{0}=0$
解得：${t}_{0}=\frac{2\sqrt{gR}}{g}$
設(shè)經(jīng)歷t運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的正下方，則$t=2{t}_{0}=\frac{4\sqrt{gR}}{g}$
在豎直方向上有$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{1}{2}g（\frac{4\sqrt{gR}}{g}）^{2}=8R$
答：（1）小球到達(dá)軌道最低點(diǎn)B時(shí)的速度為$\sqrt{gR}$；
（2）小球在軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力為2mg；
（3）小球脫離B點(diǎn)后再次運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的正下方時(shí)距B的豎直高度h為8R．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵掌握小球脫離B點(diǎn)后在水平方向上和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律