Question

12．如圖，在水平軌道上豎直安放一個與水平面夾角為θ，長度為L₀，順時針勻速轉(zhuǎn)動的傳送帶和一半徑為R的豎直圓形光滑軌道，水平軌道PQ段鋪設特殊材料，其長度L可調(diào)；水平軌道左側(cè)有一輕質(zhì)彈簧左端固定，彈簧處于自然伸長狀態(tài)，可視為質(zhì)點的小物塊A由傳送帶頂端靜止釋放，通過傳送帶、圓形軌道、水平軌道后壓縮彈簧并被彈回．已知R=0.2m，θ=37°，L₀=1.6m，L=1.5m，物塊A質(zhì)量為m=1kg，與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.125，與PQ段間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.2，不計軌道其他部分摩擦及物塊從傳送帶滑到水平軌道時機械能的損失．取g=10m/s²，求：
（1）物塊A從傳送帶頂端滑到底端時速度的大��；
（2）彈簧被壓縮到最短時所具有的彈性勢能；
（3）若物塊A仍由傳送帶頂端靜止釋放，調(diào)節(jié)PQ段的長度L，使物塊A能返回圓形軌道且能沿軌道運動而不脫離，L應滿足何條件．

Answer 1

分析 （1）以物塊在傳送帶上為研究對象，根據(jù)動能定理求解；
（2）小物塊A從傳送帶底端至彈簧被壓縮到最短的過程中，根據(jù)能量守恒求解最大彈性勢能；
（3）分小物塊A能返回圓形軌道，能不能通過最高點兩種情況求解，注意動能定理和圓周運動基本公式得聯(lián)合應用．

解答 解：（1）小物體A從傳送帶滑下過程有：mg${L}_{0}sinθ{-μ}_{1}mg{L}_{0}cosθ=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得：v₁=4m/s
（2）小物塊A從傳送帶底端至彈簧被壓縮到最短的過程中，有：
${E}_{P}{+μ}_{2}mgL=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
解得：E_P=5J
（3）若小物塊A能返回圓形軌道，但不能通過最高點，則A從沖上圓形軌道至返回圓形軌道上升到最大高度的過程有：
$-mgh-{2μ}_{2}mgL=0-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$①
0＜h≤R②
由①②解得：1.5m≤L＜2m
若小物塊A能返回圓形軌道，但能通過最高點，則A從沖上圓形軌道至返回圓形軌道最高點的過程有：
$-2mgR-{2μ}_{2}mgL=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$③
$mg+N=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$④
N≥0⑤
由③④⑤得：L≤0.75m
綜上可知，L應滿足的條件為L≤0.75m或1.5m≤L＜2m．
答：（1）物塊A從傳送帶頂端滑到底端時速度的大小為4m/s；
（2）彈簧被壓縮到最短時所具有的彈性勢能為5J；
（3）若物塊A仍由傳送帶頂端靜止釋放，調(diào)節(jié)PQ段的長度L，使物塊A能返回圓形軌道且能沿軌道運動而不脫離，L應滿足何條件為L≤0.75m或1.5m≤L＜2m．

點評 本題主要考查了動能定理、圓周運動向心力公式的直接應用，此題難度較大，牽涉的運動模型較多，物體情境復雜，關鍵是按照運動的過程逐步分析求解，