Question

15．如圖所示，兩條平行的金屬導(dǎo)軌相距L=1m，金屬導(dǎo)軌的傾斜部分與水平方向的夾角為37°，整個(gè)裝置處在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．金屬棒MN和PQ的質(zhì)量均為m=0.2kg，電阻分別為R_MN=1Ω和R_PQ=2Ω．MN置于水平導(dǎo)軌上，與水平導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，PQ置于光滑的傾斜導(dǎo)軌上，兩根金屬棒均與導(dǎo)軌垂直且接觸良好．從t=0時(shí)刻起，MN棒在水平外力F₁的作用下由靜止開始以a=1m/s²的加速度向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，PQ則在平行于斜面方向的力F₂作用下保持靜止?fàn)顟B(tài)．t=3s時(shí)，PQ棒消耗的電功率為8W，不計(jì)導(dǎo)軌的電阻，水平導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，MN始終在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)．求：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（2）0～3s時(shí)間內(nèi)通過MN棒的電荷量；
（3）求t=6s時(shí)F₂的大小和方向；
（4）若改變F₁的作用規(guī)律，使MN棒的運(yùn)動(dòng)速度v與位移x滿足關(guān)系：v=0.4x，PQ棒仍然靜止在傾斜軌道上．求MN棒從靜止開始到x=5m的過程中，系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱量．

Answer 1

分析 （1）t=3s時(shí)，PQ棒消耗的電功率為8W，由功率公式P=I²R可求出電路中電流，由閉合電路歐姆定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．已知MN棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由速度時(shí)間公式求出t=3s時(shí)的速度，即可由公式E=BLv求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式推導(dǎo)出感應(yīng)電荷量的表達(dá)式 q=$\frac{△Φ}{{R}_{總}(cāng)}$，代入數(shù)據(jù)可求得通過MN棒的電荷量；
（3）根據(jù)速度公式v=at、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式E=BLv、閉合電路歐姆定律 I=$\frac{E}{{R}_{總}(cāng)}$、安培力公式F=BIL結(jié)合，可求出PQ棒所受的安培力大小，再由平衡條件求解F₂的大小和方向；
（4）改變F₁的作用規(guī)律時(shí)，MN棒做變加速直線運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樗俣葀與位移s成正比，所以電流I、安培力也與位移s成正比，可根據(jù)安培力的平均值求出安培力做功，系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量等于克服安培力，即可得解．

解答 解：（1）t=3s時(shí)，PQ棒消耗的電功率為8W，則有：P=I²R_PQ；
得：I=$\sqrt{\frac{P}{{R}_{PQ}}}$=$\sqrt{\frac{8}{2}}$A=2A
此時(shí)MN棒將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=I（R_PQ+R_PQ）=2×（1+2）V=6V
MN棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，t₁=3s時(shí)速度為：v=at₁=1×3mm/s=3m/s
由E=BLv得：B=$\frac{E}{Lv}$=$\frac{6}{1×3}$T=2T        
（2）t₁=3s時(shí)MN棒通過的位移為：x=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×{3}^{2}$m=4.5m
回路磁通量的變化量為：△Φ=BLx=2×1×4.5Wb=9Wb
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$
通過MN棒的電荷量為：q=$\overline{I}$△t=$\frac{\overline{E}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$△t=$\frac{△Φ}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$=$\frac{9}{1+2}$C=3C
（3）t=6s時(shí)MN棒的速度為：v₂=at₂=1×6m/s=6m/s
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E₂=BLv₂=2×1×6V=12V
感應(yīng)電流為：I₂=$\frac{{E}_{2}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$=$\frac{12}{1+2}$A=4A
則PQ棒所受的安培力為：F_安=BI₂L=2×4×1N=8N
規(guī)定沿斜面向上為正方向，對(duì)PQ進(jìn)行受力分析可得：
F₂+F_安cos37°=mgsin37°
代入數(shù)據(jù)：F₂=-5.2N  （負(fù)號(hào)說明力的方向沿斜面向下）
（4）MN棒做變加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)s=5m時(shí)，有：v_t=0.4s=0.4×4m/s=2m/s
因?yàn)樗俣葀與位移s成正比，所以電流I、安培力也與位移s成正比，平均安培力就等于安培力的平均值，則
安培力做功為：W_安=-$\frac{{F}_{安}+0}{2}$s=-$\frac{1}{2}$•BL$\frac{BL{v}_{t}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$•s=-$\frac{20}{3}$J
根據(jù)功能關(guān)系可得：系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱量為：Q=-W_安=$\frac{20}{3}$J
答：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是2T；
（2）t=0～3s時(shí)間內(nèi)通過MN棒的電荷量為3C；
（3）t=6s時(shí)F₂的大小為5.2N，方向沿斜面向下；
（4）MN棒從靜止開始到s=5m的過程中，系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱量為$\frac{20}{3}$J．

點(diǎn)評(píng) 本題是雙桿類型，分別研究它們的情況是解答的基礎(chǔ)，運(yùn)用力學(xué)和電路、電磁感應(yīng)的規(guī)律研究MN棒，其中對(duì)于感應(yīng)電荷量，要熟悉一般表達(dá)式q=n$\frac{△Φ}{R+r}$，知道△φ與棒的位移有關(guān)．本題關(guān)鍵要抓住安培力與位移是線性關(guān)系，安培力的平均值等于初末時(shí)刻的平均值，從而可求出安培力做功．