Question

18．如圖所示，傾角為θ的斜面光滑，自斜面上某處以速度v與斜面夾角為Φ的方向向斜面上拋出一質(zhì)點(diǎn)（設(shè)質(zhì)點(diǎn)與斜面間的碰撞是完全彈性的，即球入射方向與反射遵循光的反射定律），斜面足夠長(zhǎng)，要求質(zhì)點(diǎn)最后仍能回到原出發(fā)點(diǎn)．問：Φ角應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 整個(gè)過程中，質(zhì)點(diǎn)只有重力做功，故機(jī)械能守恒，顯然，若質(zhì)點(diǎn)能回到原出發(fā)點(diǎn)，則它沿斜面向上的運(yùn)動(dòng)和向下的運(yùn)動(dòng)一定是相對(duì)稱的，即質(zhì)點(diǎn)沿斜面方向運(yùn)動(dòng)到其能達(dá)到的最高點(diǎn)后，沿原路返回．滿足以上條件的有兩種情況：一是質(zhì)點(diǎn)最后一次與斜面相碰時(shí)，其速度方向剛好與斜面垂直，則其反射起來的速度與其碰前的速度大小相等方向相反；二是質(zhì)點(diǎn)最后一次與斜面相碰后，反彈的速度沿豎直方向，然后再落后，“反演”此前的運(yùn)動(dòng)，也可以回到原出發(fā)點(diǎn)．根據(jù)以上兩種情況進(jìn)行分析．

解答 解：（1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿垂直斜面的方向以某一速度拋出，在質(zhì)點(diǎn)再次與斜面相碰前，質(zhì)點(diǎn)在空中運(yùn)動(dòng)的加速度分量分別為：
a_x=gsinθ
a_y=-gcosθ
在某一時(shí)刻t時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度兩分量為：
v_y=v₀-gcosθt
v_x=gsinθt
質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)為：
x=$\frac{1}{2}$gsinθt²
y=v₀t-$\frac{1}{2}$gcosθt²
由上式令y=0得質(zhì)點(diǎn)由出發(fā)至第一次與斜面相碰所經(jīng)歷的時(shí)間為：
T=$\frac{2{v}_{0}}{gcosθ}$
此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度分量為：
v_y=-v₀；
v_x=gsinθT
質(zhì)點(diǎn)由斜面反彈起來時(shí)，其垂直于斜面方向的速度大小為v₀，可見此后質(zhì)點(diǎn)每?jī)纱闻c斜面相碰的時(shí)間間隔為T，則質(zhì)點(diǎn)第n次與斜面相碰時(shí)的速度分量分別為
v_y=-v₀
v_x=gsinθ•nT
令此時(shí)速度方向與斜面間的夾角為Φ，則有
tanΦ=|$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$|=$\frac{{v}_{0}}{ngsinθ-\frac{2{v}_{0}}{gcosθ}}$=$\frac{ctgθ}{2n}$（n=1，2---）
（2）設(shè)質(zhì)點(diǎn)由空中自由下落到斜面上，與斜面相碰時(shí)速度為v0，仍在圖中所示的坐標(biāo)系中，由上分析可得：質(zhì)點(diǎn)連續(xù)兩次與斜面相碰的時(shí)間間隔為：
T=$\frac{2{v}_{0}cosθ}{gcosθ}$=$\frac{2{v}_{0}}{g}$；
此后，質(zhì)點(diǎn)第n次與斜面相碰時(shí)其速度分量為：
v_x=v₀sinθ+gsinθ（n-1）T
v_y=-v₀cosθθ
由以上三式解得，質(zhì)點(diǎn)第n次與斜面相碰時(shí)，速度方向與斜面間的夾角Φ滿足：
tanΦ=|$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$|=$\frac{{v}_{0}ctgθ}{{v}_{0}+2{v}_{0}（n-1）}$=$\frac{ctgθ}{2n-1}$（n=1，2---）
（3）由以上分析可知，若將運(yùn)動(dòng)情況逆轉(zhuǎn)，則依以上兩問題中的結(jié)論可確定的Φ角方向拋出質(zhì)點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)將沿原路返回；由以上分析可知，在斜面上拋出質(zhì)點(diǎn)的速度方向與斜面的夾角只要滿足tanΦ=$\frac{ctgθ}{k}$（k=1，2--）時(shí)，質(zhì)點(diǎn)便能返回原出發(fā)點(diǎn)．
答：Φ角應(yīng)滿足條件為tanΦ=$\frac{ctgθ}{k}$（k=1，2--）

點(diǎn)評(píng) 本題考查運(yùn)動(dòng)的合成與分解與牛頓第二定律的應(yīng)用，該題難度較大，為競(jìng)賽題目，對(duì)學(xué)生分析及應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)律求解物理問題的能力要求極高．