Question

10．為提高通行效率，許多高速公路出入口安裝了電子不停車(chē)收費(fèi)系統(tǒng)ETC．甲、乙兩輛汽車(chē)分別通過(guò)ETC通道和人工收費(fèi)通道（MTC）駛離高速公路，流程如圖所示．假設(shè)減速帶離收費(fèi)島口x=60m，收費(fèi)島總長(zhǎng)度d=40m，兩輛汽車(chē)同時(shí)以相同的速度v₁=72km/h經(jīng)過(guò)減速帶后，一起以相同的加速度做勻減速運(yùn)動(dòng)．甲車(chē)減速至v₂=36km/h后，勻速行駛到中心線即可完成繳費(fèi)，自動(dòng)欄桿打開(kāi)放行；乙車(chē)剛好到收費(fèi)島中心線收費(fèi)窗口停下，經(jīng)過(guò)t₀=15s的時(shí)間繳費(fèi)成功，人工欄打開(kāi)放行．隨后兩輛汽車(chē)勻加速到速度v₁后沿直線勻速行駛，設(shè)加速和減速過(guò)程中的加速度大小相等，求：

（1）此次人工收費(fèi)通道和ETC通道打開(kāi)欄桿放行的時(shí)間差；
（2）兩輛汽車(chē)駛離收費(fèi)站后相距的最遠(yuǎn)距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的基本公式求出ETC通道勻減速時(shí)間和位移，再求出勻速時(shí)間，即為即為甲甲車(chē)從減速到欄桿打開(kāi)的總時(shí)間；在人工收費(fèi)通道勻減速時(shí)間和繳費(fèi)時(shí)間之和，即為從減速到欄桿打開(kāi)的總時(shí)間，即可求出總時(shí)間；
（2）當(dāng)乙車(chē)從收費(fèi)通道中心線出發(fā)加速到${v}_{1}^{\;}=72km/h$，與甲車(chē)達(dá)到共同速度，此時(shí)兩車(chē)相距最遠(yuǎn)；

解答 解：（1）兩車(chē)減速運(yùn)動(dòng)的加速度為：
$a=\frac{{v}_{1}^{2}}{2（x+\frackqx4qzv{2}）}=\frac{2{0}_{\;}^{2}}{2×（60+\frac{40}{2}）}=2.5m/{s}_{\;}^{2}$
甲車(chē)減速到${v}_{2}^{\;}$所用時(shí)間為${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}-{v}_{2}^{\;}}{a}=\frac{20-10}{2.5}s=4s$
走過(guò)的距離為${x}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}+{v}_{2}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{20+10}{2}×4=60m$
甲車(chē)從勻速運(yùn)動(dòng)到欄桿打開(kāi)所用時(shí)間為
${t}_{2}^{\;}=\frac{（x+\frac9kgqcfv{2}-{x}_{1}^{\;}）}{{v}_{2}^{\;}}=\frac{60+\frac{40}{2}-60}{10}=2s$
甲車(chē)從減速到欄桿打開(kāi)的總時(shí)間為${t}_{甲}^{\;}={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=4+2=6s$
乙車(chē)減速行駛到收費(fèi)島中心線的時(shí)間為${t}_{3}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{a}=\frac{20}{2.5}s=8s$
從減速到打開(kāi)欄桿的總時(shí)間為${t}_{乙}^{\;}={t}_{0}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=15+8=23s$
人工收費(fèi)通道和ETC通道打開(kāi)欄桿放行的時(shí)間差$△t={t}_{乙}^{\;}-{t}_{甲}^{\;}=23-6=17s$
（2）乙車(chē)從收費(fèi)島中心線開(kāi)始出發(fā)又經(jīng)${t}_{3}^{\;}=8s$加速到${v}_{1}^{\;}=72km/h$，與甲車(chē)達(dá)到共同速度，此時(shí)兩車(chē)相距最遠(yuǎn)．這個(gè)過(guò)程乙車(chē)行駛的距離與之前乙車(chē)減速行駛的距離相等
${x}_{乙}^{\;}=x+\fracs3d4niy{2}=60+\frac{40}{2}=80m$
從收費(fèi)島中心線開(kāi)始，甲車(chē)先從${v}_{2}^{\;}=36km/h$加速至${v}_{1}^{\;}=72km/h$，這個(gè)時(shí)間為${t}_{1}^{\;}=4s$，然后勻速行駛
${x}_{甲}^{\;}={x}_{1}^{\;}+{v}_{1}^{\;}（{t}_{3}^{\;}+△t-{t}_{1}^{\;}）$=60+20×（8+17-4）=480m
故兩車(chē)相距的最遠(yuǎn)距離為$△x={x}_{甲}^{\;}-{x}_{乙}^{\;}=480-80=400m$
答：（1）此次人工收費(fèi)通道和ETC通道打開(kāi)欄桿放行的時(shí)間差為17s；
（2）兩輛汽車(chē)駛離收費(fèi)站后相距的最遠(yuǎn)距離為400m

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清汽車(chē)在兩種通道下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式和時(shí)間公式進(jìn)行求解，難度不大．